Adelantamos unos días nuestra cita mensual para avanzar a tiempo los contenidos de los capítulos finales de Numb3rs. Vistos ya algunos, es un buen momento para incluir una pequeña crítica sobre la serie y cómo se está emitiendo, la visión de algunos medios de comunicación sobre la misma, y los comentarios que vosotros nos habéis hecho llegar. Dada la extensión del artículo, posponemos de nuevo las soluciones a los concursos que tenemos pendientes.

Como ya se habrá percatado el seguidor de esta serie, Antena 3 decidió emitir los capítulos de Numb3rs a pares. El mes pasado se comentaron los seis primeros capítulos, de los trece de que consta la primera temporada, con lo que este artículo no debería tener sentido hasta dentro de una semana, pero, inexplicablemente, la cadena emitió el pasado martes 14 de marzo los episodios 3 y 5, con lo que en teoría los próximos serán el 6 y 7, o quizá el 4 y el 13, o vaya usted a saber cuáles (el caso es que aquí las reordenaciones no sirven porque las series televisivas solo convergen absolutamente cuando argumentos y protagonistas son independientes de un capítulo a otro, y en este caso los segundos tienen una vida que no se puede alterar con discontinuidades, aunque sean de tipo finito), o si se emitirán más o en qué horario, porque las televisiones han hecho suyo uno de los lemas de la serie (Todo es número), pero aplicado al número de espectadores, porque no entienden ni atienden a otra cosa. Así que, redacto a toda prisa algunas de las “pistas” de tipo matemático de los capítulos 7 al 13 y acabamos antes. Pero antes permitidme algunas consideraciones personales.

Qué me parece la serie

La CBS produjo Numb3rs con la intención de contrarrestar el éxito de Lost de la cadena rival ABC. Con el antecedente de C.S.I., la verdad es que no se devanaron demasiado los sesos, sólo cambiaron la medicina forense por las matemáticas; los argumentos, similares. No obstante debieron suponer que no era suficiente, y que como el espectador medio no iba a captar ciertos detalles, sería mejor que no se distrajese demasiado no fuera a ser que le diera por cambiar de canal, así que decidieron no dar un minuto de respiro a la imagen e impusieron un ritmo desquiciantemente frenético, con estética de videojuego (sobre todo el primer capítulo; el resto parecen más normales). Lo cual no deja de ser paradójico: se preocupan de contratar asesores matemáticos cualificados para presentar problemas matemáticos reales y luego no nos dejan reflexionar sobre lo planteado. Incluso a personas que trabajan a diario con algunos de los temas que aparecen, les cuesta seguir los desarrollos. Para el espectador medio, todo esto, desgraciadamente, remarca el carácter seudo-esotérico de nuestra disciplina.

Desde el punto de vista de la puesta en escena de las matemáticas, pocas novedades. En algunos momentos se fusilan escenas de otras películas (luego se dirá que son homenajes). Por ejemplo, la estudiante a la que dirige Charlie la tesis, en el episodio piloto, admira una pizarra repleta de expresiones matemáticas escritas. Entonces coge un post-it en el que escribe “Do not erase” (No borrar) y lo pega en el encerado. Revisad Ultimátum a la Tierra (The day the Earth stood still, Robert Wise, EE. UU., 1961) y comparad. O los fogonazos que muestran como trabaja la mente de Charlie (idea falsa a mi entender de cómo un matemático encuentra su, llamémosla “inspiración”, consecuencia normalmente de muchas horas de trabajo), similares a los que pone en escena Ron Howard en Una mente maravillosa. Pero quizá sea porque uno no ha conocido a ninguno de esos brillantes genios que proponen las películas. Tampoco me gustó esa frenética reacción de Charlie en el segundo episodio colocando en el garaje de su casa pizarras en posiciones absurdamente inverosímiles y escribiendo en ellas a una velocidad más propia de un “freaky” que de lo que pretende ser. Y que decir del físico amigo de Charlie (“Bizcochito” de Ally McBeal), lo más ñoño, arquetípico e infumable de la serie, con diferencia.

Respecto a lo que atañe a la emisión en nuestro país, vuelvo a quedar un tanto decepcionado con el doblaje. Sé que en España se hacen muy buenos doblajes, y es verificable en la mayor parte de los casos. Pero yo no sé qué pasa en las cuestiones técnicas, sobre todo científicas, que no se molestan en consultar algunas expresiones más especializadas. Señores del doblaje, Graph Theory es Teoría de GRAFOS, no teoría de Gráficos, que aparte de no existir, correspondería a Graphic Theory (episodio 3).Y Number Theory es Teoría de NÚMEROS, no teoría Numérica (episodio 5). No quiero ni pensar cómo se habrán traducido otras frases que no den tanto al ojo.

En cuanto a la emisión propiamente dicha por Antena 3, qué quieren que les diga que no sea evidente. Que dicen a una hora y empieza a otra (el martes pasado se anunció a las 23:00, y a las 22:45 ya había empezado), que como se dijo anteriormente el orden de los episodios no es el original (se han “comido” el cuarto), que nos abrasan a anuncios sin haber acabado los títulos de crédito o quedando dos minutos para finalizar (no son dos anuncios, son casi veinte minutos; el que graba quitándolos lo sabe muy bien), que uno no sabe cuando empieza el segundo capítulo de la noche porque ni siquiera meten el título. Pero en fin esto pasa con casi cualquier programa de cualquier cadena. Y luego pretenderán enganchar a la audiencia.

Un colega, comentando aquello de que con una serie así podría aumentar la vocación matemática, me dijo el otro día: No, lo que puede aumentar es la vocación por ser policía,…., y tener un hermano matemático que le resuelva los problemas.

Qué ha dicho la prensa

Tratando de ser ecuánime, he ido mirando la opinión de críticos de periódicos de diferentes tendencias e ideologías (los pongo por orden alfabético, para que nadie se enfade: ABC, El Mundo, El Norte de Castilla, El País y La Razón). Es esperanzador que al menos en un tema coincidan: serie de calidad, monopolio temático de las series norteamericanas de investigación variando la destreza técnica aplicada, y alguna que otra puyita a esta disciplina. Os lo resumo y que cada uno saque sus propias conclusiones.

José Javier Esparza (ABC y El Norte de Castilla) es, para mi gusto, el único que se ha molestado en razonar algo medianamente. Califica el producto de original en su planteamiento, pero cuestiona que se puedan enseñar las matemáticas de forma precisa debido a su propia naturaleza: Es un ejercicio inútil. Todo lo más el narrador podrá emplear metáforas concretas para expresar el planteamiento inicial del cálculo matemático, [..] (de ahí hasta) la fórmula matemática [..] se requieren pasos lógicos [..] que no se pueden explicar en una serie de ficción (9/3/2006). Critica que la cadena emita la serie coincidiendo con otras de otras cadenas también de interés (10/3/2006).

Sergi Pámies (Sección A la Parrilla, en El País) define a Charlie como una especie de Iker Jiménez de las mates, [..], matemático en trance que resuelve incógnitas asesinas basadas en pautas variables. Acaba preguntando, ¿resultaría igual de interesante una serie de matemáticos en la que un policía resolviera los grandes interrogantes del universo? Responde negativamente ya que predecir el próximo crimen de un psicópata es más emocionante. Y cita a Ionesco: sólo se puede predecir lo que ya ha sucedido. (9/3/2006). El 16/3/2006 en la misma sección, escribe: Parece el enunciado de uno de los viejos problemas de la escuela: si dos cepas del mismo virus viajan en direcciones distintas, ¿a cuántas personas son capaces de matar?

Javier Pérez de Albéniz (Sección El descodificador, en El Mundo) dice que Numb3rs es el ejemplo perfecto de serie policíaca especializada hasta la locura, [..] porque utiliza algo tan concreto como las ecuaciones matemáticas. (el subrayado es mío).Como lo oyen. Unas sumas y restas, unas raíces cuadradas, pizarras abarrotadas de números y… los polis pueden llegar a saber el día, la hora y el lugar en que se va a cometer un atraco. Esta claro que este señor ni sabe lo que son las matemáticas, ni se ha enterado del argumento del episodio ¿2?. El segundo capítulo dejó ver algunas debilidades en la columna vertebral de la serie. Por ejemplo que el verdadero protagonista es el matemático, un tipo triste que ni siquiera está en nómina del FBI (ahora el subrayado lo pone el periodista). Menos mal que acaba en positivo: una producción mucho más que aceptable que resulta perfecta para desconectar de la telebasura nuestra de cada día. (9/3/2006).

Finalmente, Cecilia García (La Razón), empieza, Odio las matemáticas, pesadilla recurrente desde aquella infancia de sumas y restas que no cuadraban (otra que se quedó en que aritmética = matemáticas). Sin embargo dice que Numb3rs la ha reconciliado con esta asignatura, quizá porque el protagonista es Rob Morrow[..] o lo más probable es que los productores la hayan engatusado con su vistosa forma de rodar las tramas. Coincido con ella en su comentario final respecto a la confusión en el rodaje entre movimiento y prisas. (9/3/2006)

Las audiencias

En la primera emisión (7/3/2006), Numb3rs fue el octavo programa más visto con una audiencia media de 2.664.000 espectadores y una cuota media del 17.3 % (lejos de los 4.673.000 espectadores de El comisario). En su segunda emisión (capítulos 3 y 5), el primer episodio tuvo una audiencia media de 2.584.000 televidentes y una cuota media del 14.5 %, mientras que el segundo tuvo 2.118.000 y un 18 %. La Razón (14/3/2006) hace una radiografía de este segundo capítulo situando su audiencia máxima en 3.104.000 espectadores (20.3 %). Asimismo establece que Canarias fue la comunidad que más siguió este episodio (18.6 %) seguida de Cataluña (17.7 %). Por sexo parece que atrajo a más mujeres (57.6 %) que hombres (42.4 %).

Vuestra opinión

Luis M. Pardo, un compañero de la Universidad de Cantabria es la única persona que me ha escrito un correo por el momento. En dos atentos mensajes me pega un pequeño tirón de orejas, porque en el comentario del segundo capítulo no detallé demasiado la conjetura de Cook (problema P contra NP) y su relación con el juego del buscaminas, y sin embargo conté algo estrictamente de la Física (el problema de indeterminación de Heisenberg). Esta conjetura la abordé después en otro capítulo, ya que Charlie siempre que se deprime, se refugiará en tratar de resolver este problema, por lo que aparecerá varias veces. Pero ciertamente, la relación del asunto con el juego del buscaminas es interesante y debería de haberla tratado, pero ese capítulo en concreto no lo había visto previamente, así que desconocía que saldría.

Noticia

El viernes 17 se estrena por fin Proof (ver reseña de Diciembre y Enero) con el alucinante título de La verdad oculta. Os paso la valoración de Teófilo el Necrófilo del equipo de Lo que yo te diga en la Cadena Ser:

LA VERDAD OCULTA
Director: John Madden
Intérpretes: Gwineth Paltrow, Jake Gyllenhaal, Anthony Hopkins, Hope Davis
Nacionalidad: USA

Catherine acaba de perder a su padre, un prestigioso matemático del que ella tiene la sensación que nunca llegó a conocer. En su vida entra un antiguo alumno de su padre con el que comienza una relación, mientras los dos intentan buscar todos los apuntes y documentos que dejó el prestigioso matemático. La aparición de una hermana de Catherine provocará que la ausencia del padre sea más dolorosa.

Gwineth Paltrow vuelve a trabajar bajo las ordenes de John Madden, con el que ganó el Oscar a la mejor actriz por "Shakespeare enamorado". La Paltrow consiguió la nominación en los pasados Globos de Oro por este papel.
Con un 7, es una de las Favoritas de Teo.

Guía de episodios de Numb3rs (2ª parte).- Capítulos 7 al 13.

Como hicimos en la reseña anterior, daremos una breve sinopsis del episodio procurando no revelar nada trascendental, junto a los aspectos matemático-físicos incluidos en el argumento. Dado que describir éstos con detalle nos ocuparía mucho espacio, y seguramente no serían todo lo precisos que debieran, se incluyen en algunos momentos enlaces a lugares en los que están perfectamente descritos, procurando dentro de lo posible que sean en español, y que cada cual explore lo que más le interese.

Episodio 7.- Realidad Falsificada (Counterfeit Reality)

Sinopsis: El FBI investiga la aparición de unos billetes falsos de pequeño valor. Don averigua que los falsificadores retienen a una artista para que les haga los dibujos de estos billetes. Enseguida se percatan de que, si no les localizan pronto, se desharán de ella cuando haya terminado su trabajo. Saben que han asesinado hasta el momento al menos a cinco personas, dos de las cuales les habían robado parte del dinero falso.

Los modelos Guilloché son diseños de tipo espirográfico (ver imagen) formados al entrelazar dos o más curvas dentro de otra curva interior y otra exterior. Se utilizan en billetes de banco, pasaportes y otros documentos de seguridad para evitar falsificaciones. Para los billetes, las técnicas empleadas por cada país son diferentes. La imagen es una serie de sumas y productos de varias sinusoides con periodos diferentes y representada en coordenadas polares.

Charlie hace el siguiente razonamiento en este capítulo: “Piensa en el artista como si fuera un corredor por la playa. Éste deja sus huellas en la arena, que indican cualquier decisión que toma. Más rápido, más lento, más cerca del agua,.. Un segundo artista quiere copiar el original, un segundo corredor. Si intentara seguir exactamente el mismo recorrido que el primero, no podría, es imposible, por muy cuidadoso que sea. No puede casar sus huellas, dejando rastros de su acción. Diferentes tamaños de pie, diferente zancada,…, así es como hay que coger al falsificador”. Este razonamiento le sirve para justificar el análisis de los dibujos de los billetes mediante wavelets. La transformada wavelet consiste en comparar una señal con ciertas funciones wavelet, las cuales se obtienen a partir de las wavelet madre. La comparación permite obtener unos coeficientes que son susceptibles de interpretación y posterior manipulación. Un requisito básico es la posibilidad de invertir la transformada, recuperando la señal a partir de esos coeficientes wavelet calculados. El análisis wavelet es capaz de mostrar aspectos de la señal que otras técnicas no logran encontrar. El cálculo de la transformada wavelet para todas las posibles escalas supone una gran cantidad de información. Escoger solo aquellas escalas y posiciones que resulten interesantes para ciertos estudios es una tarea difícil. Si se escogen aquellas escalas y posiciones basadas en potencias de dos, los resultados serán más eficaces. Este análisis se denomina DWT.

También en este capítulo conoceremos algo del pasado de Don, veremos a Larry desaparecer de una compañera (profesora de historia de la Ciencia) con la que ha tenido una relación sentimental (se esconde en el departamento de matemáticas porque según él es el lugar menos libidinoso de todo el campus) y comprobaremos lo audaz que es Don entrando en el cubil de la banda sin casco de protección al revés de todos los que le acompañan (¡hay que lucirse un poco!)

Episodio 8.- Crisis de Identidad (Identity Crisis)

Sinopsis: Un hombre buscado por fraude es encontrado muerto en su apartamento. El crimen es muy similar a otro cometido un año antes en el que Don cerró el caso gracias a la confesión de un ex convicto. Para asegurarse que en aquella situación no mandó a la cárcel a un inocente, decide volver a investigar aquel caso. Pide ayuda a su hermano para comprobar si en aquel momento se dejó alguna evidencia sin considerar.

En este episodio encontramos varios tópicos de interés: el análisis de probabilidades en el póker, los esquemas de venta piramidales, el doblado de papel, las huellas dactilares y el gato de Schrödinger.

En http://www.poquer.com.es/probabilidades-poker.html, podéis ver la importancia de las probabilidades en este juego desde el punto de vista de un jugador sin conocimientos matemáticos. Luego, si deseáis profundizar un poco más, cualquier libro de calculo de probabilidades elemental os puede dar las pistas necesarias para echar unas cuentas.

Todo el mundo conoce en qué consiste la venta piramidal (actualmente prohibida en nuestro país debido a los fraudes y estafas a los que ha dado lugar) y algunos hasta habrán sufrido las consecuencias. Básicamente se trata de reclutar gente que ayude y contribuya a vender un producto comprometiéndose a su vez a enganchar a otros tantos. El gancho es grandes beneficios con poca inversión económica (que no en tiempo, que muchas veces es más valorable). El problema es que a partir de un momento, el promotor no tiene suficiente dinero para pagar a los nuevos inversores; entonces la gente pierde el dinero y el sistema se colapsa. El “inventor” de este tipo de modelos fue el emigrante italiano Carlo Ponzi que en 1920 pretendió ganar mucho dinero (y al principio lo logró) a cuenta de la venta de bonos por correo aprovechando los ventajosos cambios de moneda de diferentes países. El estafador del episodio resultará un poco más sofisticado y cuidadoso.

Suponiendo que fuera posible doblar un papel a la mitad las veces que quisiéramos, la altura del trozo de papel se iría multiplicando por dos con cada doblez. Un folio DIN A-4, por ejemplo, de un grosor aproximado de 0.1 mm., doblado 50 veces (si ello fuera físicamente posible) nos proporcionaría un trocito cuya altura sería de 2.25 x 10¹¹ metros (calculadlo si queréis), es decir, 2.25 x 10⁸ km., y esto es un grosor mayor que la distancia entre la Tierra y el Sol que es del orden de 1.5 x 10⁸ km. La función

L(n) = (1/6) π d (2ⁿ + 4)(2ⁿ - 1)

(donde d es el grosor del papel y n el número de dobleces que se realizan en una dirección dada), nos da la cantidad de papel que se va perdiendo al ir doblando el trozo del que se parta a la mitad, y establece un límite al número de veces que un objeto de espesor finito puede ser doblado en una misma dirección. La fórmula fue deducida por la estudiante de secundaria Britney Gallivan en Diciembre de 2001(nombrada por Charlie en el capítulo; en la foto podemos verla). En enero de 2002 estableció un nuevo record en el doblado de papel a la mitad (12 veces) echando por tierra las afirmaciones que aseguraban que no era posible lograrlo más de 8 veces.

Hay muchos problemas matemáticos propuestos sobre el doblado de papel (y no sólo dentro de la matemática recreativa). Dejando a un lado la creación de figuras más o menos vistosas (el Origami japonés o la papiroflexia para nosotros), la construcción de polígonos regulares por estos procedimientos está sólo parcialmente resuelta (triángulo, pentágono, hexágono, heptágono, octógono y decágono por el momento). Se desconoce el número mínimo necesario de dobleces para construir un n-ágono, para n ≥ 4. Sólo se conocen cotas de este valor.

Respecto a las huellas dactilares, ¿pueden dos personas diferentes tener las mismas huellas? No hay indicios de que esto haya sucedido nunca, pero teóricamente no es imposible. En la web hay montones de artículos relacionados con este tema. En la comparación de huellas se cotejan una serie de detalles de acuerdo con diferentes sistemas de clasificación. Si nos fijáramos en 10 puntos, y cada uno pudiera tener 10 valores distintos, tendríamos 10¹⁰ posibilidades diferentes. Es poco probable que dos personas coincidieran. Lo que no es tan raro, como apunta Charlie, es que un fragmento de una huella coincida en dos personas distintas. Cuanto menor sea el fragmento de huella disponible, más posibilidades hay de que coincidan. Es el caso presentado en este episodio (no desvelaré quien es el “malo”, pero lo sé, que conste).

Finalmente aparece una referencia a la paradoja conocida como “el gato de Schrödinger”. Edwin Schrödinger (1887 – 1961) fue uno de los más importantes físicos del siglo XX, particularmente por sus trabajos en el desarrollo de la mecánica cuántica. En la página http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/Rc-31/RC-31.htm, podéis leer de un modo muy asequible la descripción de esta famosa paradoja.

Episodio 9.- Francotirador Cero (Sniper Zero)

Sinopsis: La ciudad está conmocionada por culpa de un francotirador emboscado que dispara aparentemente de forma aleatoria, y mata a la gente por la calle, entre ellos, a un empleado de correos. La investigación revela que hay más de un sujeto disparando. Charlie se siente un poco incomodo con un colaborador de Don, especialista en casos de este tipo.

Los expertos estiman entre 5 y 6 días el periodo de tiempo mínimo necesario para que un francotirador se prepare para ejecutar su acción (fundamentalmente, elegir el lugar idóneo tanto para alcanzar su objetivo como para asegurar su pronta escapada). Suponiendo que fueran 6, tardaría 12 días en preparar dos atentados, 18 para tres, …., 42 días para siete objetivos distintos. Si fueran dos los tiradores, comportándose cada uno de acuerdo con ese modelo, podrían llevar a cabo 13 ataques en esos 42 días (suponiendo que no actúan el mismo día; si no, 14).

Aparece entonces el posible imitador: si un francotirador logra imbuir miedo a la gente y que aparezcan noticias sobre sus acciones en los medios de comunicación, puede “animar” a otros potenciales asesinos (en una población grande, hay una cierta cantidad de desequilibrados) a seguir sus pasos. Y las fechorías de todos estos copiones, anima a su vez a otros, incrementando el número de maniacos, siguiendo ¿qué modelo? Parece claro que el número de ataques va a ser proporcional al número de individuos, los cuales aumentan proporcionalmente al número de los ya existentes. Claramente esto sigue una pauta exponencial. Si llamamos y(t) al número de francotiradores que hay en el instante t, la variación en su número, y’(t) = k·y(t), es decir, es proporcional a los que ya hay. Resolviendo esta sencilla ecuación diferencial, tenemos que y(t) = c₀·e^kt, siendo c₀ una constante.

En nuestra vida cotidiana, el crecimiento exponencial se presenta en aquellas situaciones que escapan a nuestro control creciendo muy deprisa: propagación de epidemias, enfermedades (las células se reproducen de forma exponencial en nuestro organismo; el cáncer por tanto se extiende de ese modo), el dinero puesto a interés compuesto (el pago continuado de intereses en un periodo muy largo de tiempo es prácticamente imposible de afrontar; esto explica porque los bancos ofrecen intervalos de tiempo relativamente pequeños), las listas de correo (el conocido sistema de re-enviar un mensaje a seis personas, y éstas a su vez a otras seis), etc.

También se mencionan algunos procedimientos relacionados con la balística.

Episodio 10.- Bomba Sucia (Dirty Bomb)

Sinopsis: Una banda roba un camión cargado con material radiactivo, amenazando con lanzar sobre Los Ángeles una “bomba sucia” si no se les paga veinte millones de dólares en las próximas doce horas. Mientras Don intenta localizar el camión robado, Charlie especula con el lugar más probable en el que tirarían la bomba para tratar de minimizar el daño producido a la población.

El dilema del prisionero es el tópico sobre el que gira en esta ocasión la parte matemática del capítulo (la teoría de juegos es la rama de las matemáticas que analiza este tipo de cuestiones). Charlie explica en que consiste a algunos de los miembros de la banda para que inculpen a los demás y a su jefe.

El dilema del prisionero a grandes rasgos se explica así: dos personas son sospechosas de haber cometido un delito. Se las mantiene incomunicadas en todo momento. En el interrogatorio se les informa de que hay evidencias de que ambos son culpables, aunque no hay pruebas por lo que la policía necesita una confesión. Se ofrece a cada uno la posibilidad de elegir entre confesar la autoría del crimen involucrando a su compañero o de no hacerlo, teniendo en cuenta lo siguiente: si ninguno de los dos confiesa, ambos estarán un año en la cárcel; si uno confiesa y el otro no, el colaborador sale libre y el delatado “disfrutará” de tres años “a la sombra”; si los dos confiesan, ambos tendrán dos años de cárcel. Analizando la situación aparentemente lo más rentable parece colaborar (la pena estaría entre 0 y 2 años, mientras que el no hacerlo podría llevarnos hasta los 3 años, dependiendo de lo que hiciera el otro). Sin embargo, si ambos razonaran con lógica, prescindiendo de egoísmos personales, lo mejor para ambos es no colaborar (sólo un año para cada uno: equilibrio de Nash, ya sabéis el de Una mente maravillosa (Ron Howard, EE. UU., 2001)). ¿Qué hacer?

De lo dicho se sigue que en realidad lo que aparece en el capítulo no es el dilema del prisionero porque los individuos se encuentran en la misma habitación y Charlie malmete a unos en contra del resto, táctica opuesta en realidad a la sugerida por el dilema del prisionero. Charlie trata de convencer para que colaboren a los que más tienen que perder. En internet puede encontrarse un montón de información sobre el dilema del prisionero.

Episodio 11.- Sacrificio (Sacrifice)

Sinopsis: Un investigador de ciencias de la computación que se encuentra trabajando en un proyecto clasificado del Gobierno es hallado muerto en su casa teniéndose la certeza de que algunos datos de su ordenador han sido robados. La investigación revela además que la víctima se encontraba en trámites de divorcio y estaba intentando que su esposa no recibiera cantidad económica alguna.

Lo más relevante del capítulo tiene que ver con los algoritmos. Un algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema en tiempo finito. En nuestra vida cotidiana, no sólo en matemáticas o en informática, utilizamos algoritmos constantemente. Por ejemplo, el manejo de una lavadora o cualquier otro aparato eléctrico (siguiendo las instrucciones del fabricante) o cocinando una comida (seguimos los pasos de la receta en un determinado orden). En matemáticas, por supuesto, se utilizan algoritmos casi continuamente: al dividir dos números (algoritmo de la división), al calcular el máximo común divisor de dos números (algoritmo de Euclides), al resolver sistemas de ecuaciones lineales (algoritmo de Gauss), para localizar aproximaciones numéricas a las raíces de una ecuación (bisección, regula falsi, secante, newton, punto fijo), etc. La palabra algoritmo proviene de una mala pronunciación (“algorismi”) del nombre del matemático persa del siglo IX, Al-Khowarizmi, al que se considera “el padre del álgebra” (al.jabr, reemplazar).

Charlie habla en una escena de Sabermetrics (no he encontrado traducción al castellano; a saber con que nos sorprenden en esta ocasión). En sus propias palabras, “Sabermetrics es el análisis del juego del béisbol a partir de datos objetivos, normalmente estadísticos. El término proviene del acrónimo SABR” (Society for American Baseball Research).

Por otro lado se incluyen referencias a la ingeniería y a la física (relacionándolas también con la estadística) más que con las matemáticas propiamente dichas. Hacia el final, se hace una reflexión sobre la ética de la investigación matemática (y científica, en general). Charlie dice: “Siempre he pensado que es mi deber desarrollar herramientas matemáticas para que alguien las utilice sabiamente. ¿Estoy equivocado?” Su amigo, Larry, el físico (“Bizcochito”), le planta el archi conocido ejemplo de la investigación nuclear, contraponiendo los efectos de la bomba atómica de Hiroshima frente a los avances en ese campo contra enfermedades como el cáncer. En fin, un asunto muy manido (que Charlie no debería a su edad ni plantear, pero ya se sabe como son los guiones de este tipo de series). También parece un poco excesivo afirmar que “Todo es número” sería un buen lema para Las aventuras de Sherlock Holmes. En fin, afrontemos comentarios así con una disimulada sonrisa.

Episodio 12.- Borde Ruidoso (Noisy Edge)

Sinopsis: Don y el agente Weston de la NTSB (ver resumen del capítulo 6) investigan los testimonios de varios testigos que dicen haber visto un misterioso objeto volando peligrosamente cerca de un barrio de Los Ángeles, relacionándolo con un ataque terrorista. Charlie descubre que el citado objeto es parte de una nueva tecnología que podría revolucionar el transporte aéreo. Sin embargo la investigación dará un giro inesperado cuando descubren que el ingeniero encargado del desarrollo de estos prototipos está muerto.

En esta ocasión las matemáticas presentadas se relacionan con el tema del procesado de señales, en concreto con la obtención de determinados datos a partir de la recepción de ondas electromagnéticas. Un transmisor de radar envía ondas en una frecuencia concreta. Al golpear un objeto son devueltas (en ambos casos a la velocidad de la luz) y procesadas por un detector de radar. Midiendo el tiempo que tarda es posible estimar electrónicamente a qué distancia se encuentra dicho objeto. Como el ángulo del transmisor también es conocido, es posible además saber la dirección en la que se encuentra el objeto, e incluso si el objeto se mueve, la velocidad a la que lo hace.

Hasta aquí todo perfecto. El problema surge al aparecer el “ruido”, perturbaciones diversas provocadas por múltiples factores: la irregularidad del objeto, interferencias diversas durante el recorrido de la onda, detecciones de otras señales extraviadas que se confunden con la nuestra, etc. Es como cuando a veces sintonizando la radio oímos “algo” que no esperamos (ruido estático). Por otra parte si el objeto al que enviamos la señal es grande (un avión) el eco que refleja es tan fuerte que el ruido es despreciable en comparación; si fuera un avioncito teledirigido, el ruido puede ser, en cambio, mayor que la señal del dicho avión.

¿Cómo distinguir entonces ese ruido de la onda que deseamos? Una forma es mediante filtros (recuérdese una escena de la película Contact (Robert Zemeckis, EE. UU., 1997) en la que se trata de captar un posible mensaje enviado desde una estrella). El ruido suele proceder de frecuencias altas, mientras que las ondas reflejadas por un objeto lo son de baja. Para señales electrónicas se utiliza un detector, para las digitales, el ordenador, que emplea potentes algoritmos numéricos de análisis de Fourier. En el capítulo, Charlie se enfrenta al ruido provocado por una sala llena de gente aplaudiendo; una de esas personas, justo la que se quiere detectar, lo hace más lentamente. El método no es infalible porque puede aparecer algún sonido similar al que se busca (fenómeno conocido como aliasing). En estos casos, cuando la señal es tan débil que el filtrado no puede aplicarse, se recurre a técnicas estadísticas, tratando de identificar esa señal con otras “similares” (correlación de datos). Esto entraría dentro de la llamada Física Estadística (en concreto en el Procesado Estocástico de Señales).

Episodio 13.- La caza del Hombre (Man Hunt)

Sinopsis: Un peligroso individuo escapa de prisión cuando el autobús que lo traslada tiene un accidente. El FBI teme que intente vengarse del testigo cuya declaración lo envió entre rejas. Sin embargo, descubren que atrapar al escurridizo asesino no va a ser tarea sencilla. Don forma equipo en esta ocasión con el agente Billy Cooper, su anterior compañero de la Sección especializada en fugitivos del FBI, lo cual le hará recordar momentos no especialmente gratos, que comienzan a afectarle en su comportamiento.

En un momento del capítulo, Charlie aparece dando una conferencia dentro de un curso denominado “Matemáticas para no matemáticos”, presentando el conocido como problema de Monte Hall. La tal Monte Hall era la presentadora de un popular concurso televisivo en el que se le ofrecía al concursante elegir una de tres puertas. Una de éstas guarda un flamante automóvil y las otras dos cabras, una para cada puerta. La presentadora sabe donde está el coche, y propone al concursante que elija una puerta. A continuación, la presentadora abre una de las otras dos puertas, una de las que contiene una cabra, y entonces le ofrece la posibilidad de cambiar su elección inicial. ¿Debe hacerlo? O dicho de otro modo, ¿Cuál es la probabilidad de ganar el coche si cambia de opinión y cuál si la mantiene?

Aunque parezca trivial, la cosa tiene su miga (de hecho ha dado origen a la llamada paradoja de Monte Hall). Muchos (incluso algunos matemáticos) dirán que la respuesta a ambas cuestiones es idéntica, dado que el nuevo espacio muestral sólo contiene ahora dos opciones. Pero analicemos un poco más detalladamente la situación. Designemos por A el lugar en el que está el automóvil y C₁, C₂ donde están las cabras. Inicialmente tenemos tres posibilidades: (A, C₁, C₂), (C₁, A, C₂) y (C₁, C₂, A), de modo que al elegir una cualquiera de las puertas, la probabilidad de acertar es 1/3 (y 2/3 la de fallar). Pero al abrir una de ellas, una de las de la cabra, el concursante se encuentra en la siguiente situación:

1.- Si ha acertado en su elección, y la mantiene, gana; si cambia, pierde.
2.- Si ha elegido la correspondiente a C₁, gana si cambia de opinión; si no, pierde.
3.- Si ha elegido la correspondiente a C₂, gana si cambia de opinión; si no, pierde.

De estas tres opciones, si cambia de opinión tiene probabilidad 2/3 de ganar, mientras que siendo fiel a su elección inicial, sólo 1/3. Aunque parezca poco intuitivo, si uno hace una simulación con un amigo (que hace de presentador que sabe donde se encuentra el premio), y repite varias veces, primero sin cambiar de opción y luego el mismo número de veces (doce veces de cada puede ser suficiente) cambiando, comprobará que, en efecto, uno acierta más veces cuando cambia que cuando se mantiene en la primera opción. En http://www.shodor.org/interactivate/activities/monty3, podemos hacer dicha simulación (la opción why? contiene material escrito para trabajar en clase y generalizaciones discutidas del problema; what? presenta el problema, y how? indica cómo se juega). En todo caso, no estaría de más que uno recordara los conceptos de esperanza matemática y probabilidad condicional para echar una pequeña cuenta que le despeje cualquier tipo de duda al respecto.

El segundo tópico aludido en el capítulo es el de procesos de Markov y el teorema de Chapman-Kolmogorov. Un proceso de Markov es un modelo probabilístico adecuado para describir el comportamiento de unos determinados sistemas. En el episodio que nos ocupa, el sistema está formado por tres vehículos (un camión, una furgoneta de reparto y el furgón de los presos) que en un momento dado interaccionan. Charlie utiliza una matriz en la que se describen las probabilidades que cada uno de los tres tiene de comportarse de un modo determinado (seguir por su carril o invadir el contrario) en diferentes intervalos de tiempo. El teorema de Chapman-Kolmogorov es un conocido resultado (normalmente se utiliza sin darle el nombre) que establece que la matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener calculando la potencia n-ésima de la matriz de transición de un paso. Discutiendo con su amigo Larry deducen a partir de la matriz resultante que el accidente ha tenido poco de aleatorio (cosa evidente para el espectador que ve las imágenes del mismo o para cualquier investigador medianamente despierto). Los procesos de Markov son una herramienta utilizada, entre otros campos, en el del modelado de sistemas de computación.