Una vibración misteriosa
El curioso comportamiento de los instrumentos
musicales generó dos de los problemas
matemáticos que a lo largo de la historia
despertaron un interés excepcional dando
lugar a una de las controversias más
encendidas y fructíferas en la historia
de las matemáticas. Veamos un resumen
de la fascinante investigación que consiguió desentrañar
el misterio.
Pitágoras
Desde los tiempos de Pitágoras se conoce,
empíricamente, que la altura del sonido
fundamental percibido al pulsar una cuerda
con extremos fijos depende de la longitud de
la cuerda, resultando la frecuencia inversamente
proporcional a la longitud. (Una dependencia
similar se observa respecto a la longitud de
los tubos en los instrumentos de viento, problema
que analizaremos en otra ocasión.)
Mersenne
(sin sus primos)
Marin Mersenne en
su obra “Armonía
Universal” (1636) describe con precisión,
pero sin demostrarla, la relación
entre la frecuencia del sonido fundamental
de una cuerda y su longitud, tensión
y densidad, algo que también consigue,
independientemente, Galileo. La obra de Mersenne
se convirtió en fuente teórica
de la música del siglo XVII, sobre
todo en Francia.
Dos
problemas peliagudos
Hasta el siglo XVIII, la matemática
no se encuentra lo suficientemente avanzada
como para abordar dos problemas intrigantes:
- El problema de la cuerda vibrante:
Determinar el movimiento de una cuerda tensa
al pulsarla.
- Demostrar o rebatir la relación
de Mersenne: Dada la longitud y el peso de
una cuerda, así como la fuerza que
la tensa, encontrar el tiempo de vibración.
Brook
Taylor
En 1715,
Taylor encuentra
que el movimiento de un punto arbitrario de la
cuerda es el de un
péndulo
simple y
determina su tiempo de vibración (
periodo).
Obtiene en su lenguaje propio, un tanto distinto
del nuestro, la ecuación diferencial de
la cuerda vibrante, es decir la ecuación
unidimensional de ondas, y a partir de ella halla
una solución:
la forma de la curva que toma la cuerda en un
instante dado es sinusoidal.
Parciales
armónicos
Para entender el problema de la cuerda vibrante
es necesaria la observación de su comportamiento.
El sonido fundamental no es el único
que emite la cuerda al vibrar. Simultáneamente,
se producen otros sonidos (parciales)
de menor intensidad. La distribución
e intensidad de estos parciales (timbre)
diferencian instrumentos o voces que ejecuten
la misma nota.
En el caso de los instrumentos de cuerda y
viento, las frecuencias de estos parciales
son múltiplos de la frecuencia fundamental F.
De estos múltiplos (armónicos),
el primero es la propia frecuencia fundamental,
el segundo el doble (2F),
el tercer armónico el triple (3F),
etc.
¿Por
qué múltiplos
exactos?
Al pulsar la cuerda se produce una onda transversal
viajera, como una ola, que recorre la cuerda
hasta los extremos, con una cierta amplitud (separación
máxima respecto del punto de reposo).
Allí, incapaz de continuar su propagación,
se refleja. Esto ocasiona que dos ondas reflejadas
en los extremos viajen una contra otra hasta
superponerse en la cuerda.
La suma de estas dos ondas reflejadas es una
onda longitudinal llamada onda estacionaria.
Este nombre se debe a que, al superponerse,
las ondas reflejadas parecen dejar de propagarse,
convirtiéndose en una oscilación
de la cuerda. Esta oscilación es la
que se propagará al aire.
Cada onda reflejada habrá recorrido
dos veces la longitud de la cuerda hasta encontrarse
de nuevo en el extremo de partida. Así que
la longitud de la onda estacionaria es el doble
de la longitud de la cuerda. Ahora bien, al
superponerse las dos ondas transversales para
formar la onda estacionaria, podrán
aparecer puntos (vientres) en donde
las dos ondas coincidan en fase, así que
la amplitud será el doble. También
pueden aparecer puntos (nodos) en
donde las ondas se encuentren desfasadas 180º,
así que en ellos la amplitud será nula
(no se mueven). Estos nodos actúan como
extremos fijos de partes de la cuerda, por
lo que la vibración de estas partes
emitirá un sonido más agudo (con
mayor frecuencia).
Para que los nodos aparezcan, tienen que estar
distribuidos por igual a lo largo de la cuerda.
Por lo tanto, las longitudes de esos trozos
de cuerda tienen que ser divisores de la longitud
total de la cuerda. Como la frecuencia es inversamente
proporcional a la longitud, se deduce que los
nuevos sonidos tienen que tener como frecuencia
un múltiplo de la frecuencia fundamental,
es decir, tienen que ser armónicos.
El
problema de la cuerda vibrante
Ahora bien, lo curioso es que la cuerda no
varía alternativamente entre un armónico
y otro, sino que emite todos los sonidos armónicos
al mismo tiempo. He aquí el quid de
la cuestión, causa de intriga y discusión
entre los matemáticos: ¿cómo
se las arregla la cuerda para vibrar de varias
formas distintas a la vez?
D’Alembert, Daniel Bernoulli
y Euler
El problema de la cuerda vibrante promueve
la intensa búsqueda de una explicación.
En esta búsqueda, d'Alembert muestra
la solución general de la ecuación
de onda como suma de dos funciones generales y
periódicas.
Inmediatamente, surge una fuerte controversia
entre la solución establecida por Taylor
y la nueva de d’Alembert: ¿la
solución es general o sólo admite
soluciones sinusoidales? Para echar más
leña al fuego se meten por medio otros
dos genios: Euler y Daniel Bernoulli, que no
hacen sino aumentar la consciencia de la tremenda
confusión que todos sentían.
En medio de esta polémica, Bernoulli
encuentra la ecuación de cada armónico
y, en consecuencia, demuestra la relación
que ya había encontrado empíricamente
Mersenne entre frecuencia, longitud de la cuerda,
tensión y densidad. El segundo de los
problemas había sido resuelto.
Otra consecuencia de la ecuación de
Bernoulli es que la envolvente de las posiciones
de la cuerda son dos parábolas.
El
problema de la cuerda vibrante se resiste
La causa de la confusión entre estos
genios estriba en que los matemáticos
de esta época concebían una función
a modo de polinomio, es decir, lo que hoy llamamos función
analítica. ¡Pero un
polinomio queda perfectamente determinado para
todos los valores una vez que se conocen sus
valores en un intervalo por pequeño
que sea!
Para ellos, el estado de vibración
de una parte de la cuerda debería determinar
la vibración de la cuerda entera.
Fourier
Fourier fue discípulo de Lagrange,
Monge y Laplace. En su Teoría
analítica del calor recurre a series
trigonométricas
para modelizar ciertos comportamientos evolutivos.
Estas series permiten
resolver, por fin, el problema de la cuerda
vibrante, al servir de puente entre las sinusoidales
de Taylor y las funciones generales de d’Alembert.
La gran diferencia entre la serie trigonométrica
de Fourier y otras series, como la serie de
potencias de Taylor, reside en que estas últimas
representan una función analítica:
toda ella está determinada por su comportamiento
en cualquier pequeño intervalo. La serie
de Fourier puede representar a una función
mucho más general (aquí un ejemplo) y tiene un carácter
local: el valor de la serie en un entorno no
contiene ninguna información sobre el
valor de la serie en otro entorno disjunto
del anterior.
Solución
al problema de la cuerda vibrante
Resulta, pues, que la cuerda no vibra de ninguno
de los modos que vimos, sino de una suma
ponderada de
ellos. Los coeficientes de la serie de Fourier
varían según los distintos armónicos
(y por lo tanto, según el timbre del
instrumento). En el caso de la cuerda, también
varían según la posición
del punto de pulsación. Ante un movimiento tan complejo, no
es de extrañar la perplejidad causada
en los matemáticos.
Algo
va mal
Aunque el problema de la cuerda vibrante parecía
resuelto, el modo (digamos “alegre”)
en que Fourier empleaba sus series trigonométricas
provocó la crítica, más
que razonable, de otros tres genios matemáticos: Lagrange,
Laplace y Abel.
El problema residía en que Fourier manejaba
las series infinitas sin establecer previamente
su convergencia. Este proceder puede conducir
a resultados absolutamente erróneos.
Así las cosas, el problema de la cuerda
vibrante parecía resuelto en la
práctica, pero sin un fundamento teórico consistente.
Un año histórico
Por fin, en 1829, Dirichlet, discípulo
de Fourier, establece las condiciones
de convergencia de
las series de Fourier. Esto marcó un
hito en la historia de las matemáticas.
El análisis armónico
El desarrollo del análisis matemático
del siglo XIX tiene como hilo conductor el deseo
de proporcionar respuestas satisfactorias a las
muchas preguntas originadas en el estudio de
la cuerda vibrante. Durante todo ese siglo, y
hasta hoy, el análisis armónico
empieza a aplicarse a una amplia variedad de
fenómenos, desde la naturaleza
de la luz o la estructura del átomo hasta
los ordenadores, a la vez que impulsa la investigación
sobre los fundamentos de las matemáticas.
Por último, la “Teoría de
las cuerdas”, actualmente la mejor candidata
para unificar las fuerzas fundamentales, se sirve
de la analogía con las cuerdas vibrantes
para definir su modelo físico del comportamiento
de la materia.
