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6.
El álgebra geométrica de Descartes
 René
Descartes, el padre de la geometría
analítica, nació el 31 de
marzo de 1596 en La Haye, cerca de Tours,
y murió el 11 de febrero de 1650.
Su familia poseía
una fortuna considerable que permitió
a Renato llevar una vida desahogada.
A los veinte años
obtuvo el Bachillerato y la Licenciatura
en Leyes.
Desde los veintiún
años hasta los veintinueve Descartes
se dedicó a viajar por Europa,
alistándose en los ejércitos
de Mauricio Nassau y Maximiliano V de
Baviera.
En 1625 regresó
a Francia y, en París, perteneció
al círculo científico del
padre Marín Mersenne, antiguo compañero
en el colegio jesuita de La Flêche.
Durante su estancia parisina René
llevó una vida poco recomendable,
dominada por el juego, hasta que se retiró
a su casa de Saint Germain y empezó
un intenso trabajo en filosofía,
física y matemáticas. En
1628 emigró a Holanda donde permaneció
durante casi veinte años.
Los conocimientos de
Descartes se pueden calificar de enciclopédicos
dado que, además de las tres disciplinas
antedichas, cultivó la óptica,
química, música, mecánica,
anatomía, embriología, medicina,
astronomía y meteorología.
En matemáticas
su obra capital fue La Géométrie,
publicada en 1637 como apéndice
de su famoso Discurso del Método,
en la que sentó las bases de la
geometría analítica. Se
cuenta que le surgió la idea de
esta nueva geometría cuando, contemplando
el movimiento de una mosca en el techo
de su habitación, pensó
que la trayectoria del insecto se podía
describir en función de su distancia
a las paredes adyacentes.
Con Descartes se inició
la práctica actual de usar las
últimas letras del alfabeto para
las incógnitas y las primeras para
los parámetros. Al mismo tiempo,
el autor del Discurso del Método,
acostumbró a igualar a cero el
primer miembro de cualquier ecuación. |
En el libro primero de su Geometría,
René Descartes presenta la resolución
geométrica de algunas ecuaciones de segundo
grado con una incógnita.
6.1. Resolución
geométrica de la ecuación z2
= az + b2
El
texto de Descartes
La traducción
(...)
Por ejemplo, si tengo z2 = az + b2
construyo el triángulo rectángulo
NLM, cuyo lado LM es igual a b, raíz
cuadrada de la cantidad conocida b2,
y el otro lado LN es a/2, la mitad de la otra
cantidad conocida, que multiplica a z, que es
la línea desconocida. Entonces, prolongando
MN, base de este triángulo, hasta O,
de modo que NO sea igual a NL, la línea
OM es z, la línea buscada, y se expresa
de este modo:
El
comentario
En
cuanto a la notación, observemos que
el signo de igualdad utilizado por Descartes
es distinto del actual y se parece al símbolo
moderno para “infinito”. Notemos
también que para representar potencias
de exponente 2 suele hacer uso de la multiplicación
indicada [aa = a2]. Por último,
advirtamos que el matemático francés
utiliza el término “base”
para referirse a la hipotenusa de un triángulo
rectángulo.
Respecto
al procedimiento de resolución de la
ecuación, Descartes sólo lo describe
y no se detiene en su justificación.
Dado el carácter divulgativo-didáctico
de este trabajo, creemos conveniente incluir
aquí una fundamentación del método
que se apoya en la proposición 36 del
libro III de los Elementos de Euclides:
Si
desde un punto exterior a un círculo
se trazan dos rectas, una de las cuales lo corta
y la otra sólo lo toca, entonces el rectángulo
comprendido por toda la recta secante y su parte
exterior entre el punto y la periferia convexa
del círculo es equivalente al cuadrado
de la tangente.
Si en la figura presentada
por Descartes aplicamos la proposición
anterior se tiene que:
MO · MP = LM2
Entonces, si comparamos esta
igualdad con la ecuación que se quiere
resolver [z(z – a) = b2] resulta
que:
LM = b
MO = z
MP = z – a
Por tanto, la resolución
gráfica propuesta por Descartes es correcta.
Además:
OP = OM – MP = z –
(z – a) = a => ON = NP = NL = a/2
De donde:
6.2. Resolución geométrica
de la ecuación y2 = -ay +
b2
El texto de
Descartes
La traducción
Si se tiene y2 = -ay + b2,
donde y es la cantidad que se quiere encontrar,
construyo el mismo triángulo rectángulo
NLM y de la base MN quito NP igual a NL, y lo
que sobra PM es y, la raíz buscada. Así,
se tiene que:
Y del mismo modo, si se tiene x4
= -ax2 + b2 entonces PM
será x2 y se tendrá
que:
y así para otros casos.
El comentario
La justificación del método presentado
por Descartes también se apoya en la
proposición 36 del libro III de los Elementos
de Euclides.
Si en la figura del texto aplicamos dicha proposición
se tiene que:
MO · MP = LM2
Entonces, si comparamos esta igualdad con la
ecuación que se quiere resolver [y(y
+ a) = b2] resulta que:
LM = b
MP = y
MO = y + a
Por tanto, la resolución gráfica
propuesta por Descartes es correcta.
Además:
OP = OM – MP = (y + a) – y =
a => ON = NP = NL = a/2
De donde:
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