6. Los Poliedros en el Renacimiento. Della Francesca, Luca Pacioli y Durero

Los llamados artistas matemáticos del Renacimiento manifestaron gran interés por los poliedros, propiciado, por una parte, por los estudios platónicos sugeridos por la  reaparición de ciertos manuscritos con las obras de Platón, y por otra, debido a que estos sólidos servían como excelentes modelos en los estudios sobre Perspectiva (Pedoe, 1979).

El estudio más completo fue realizado hacia 1480 por Piero della Francesca en su obra Libellus De Quinque Corporibus Regularibus. Aparte de los tópicos euclídeos sobre poliedros, en esta obra se redescubren gradualmente los llamados sólidos arquimedianos o poliedros semirregulares. Son trece cuerpos igualmente inscriptibles en una esfera con caras polígonos regulares de dos o tres tipos, siendo iguales los polígonos que resultan de unir puntos medios de aristas que concurren en un vértice. Pappus de Alejandría (1982), que atribuye su invención a Arquímedes, da una descripción de estos sólidos en el apartado V.19 de su obra La Colección Matemática e indica, además, para cada sólido, el número de caras, aristas y vértices.

Piero della Francesca fue un experto en relacionar los diversos poliedros; obtuvo unos a partir de otros y los inscribió sucesivamente. De esta forma, además del posible número de polígonos regulares en el plano (infinitos) y de poliedros regulares en el espacio (sólo cinco) aparece otra distinción significativa entre ambos tipos de entes: mientras que en el plano, el triángulo, el cuadrado y el pentágono, por ejemplo, son geométrica y algebraicamente independientes unos de otros, los cinco poliedros regulares guardan entre sí íntimas relaciones estructurales. De ellas la más elemental es la llamada dualidad o reciprocidad poliédrica según la cual «el sólido cuyos vértices son los centros de las caras de uno platónico también es platónico» y también «el sólido determinado por los planos tangentes en los vértices a la esfera circunscrita a un sólido platónico también es platónico». Un poliedro y su dual tienen el mismo número de lados y el número de caras de uno es igual al número de vértices del otro.

Los cinco poliedros regulares se clasifican por dualidad en tres grupos: tetraedro que es dual de sí mismo, cubo-octaedro (el dual del cubo es el octaedro y viceversa) e icosaedro-dodecaedro (el dual del icosaedro es el dodecaedro y viceversa) según muestran las siguientes figuras:

Piero della Francesca va mucho más allá al realizar un estudio muy completo de formas de pasar directa o indirectamente de unos sólidos platónicos a otros, vinculando de múltiples maneras los diversos poliedros, algunas de las cuales son estudiadas por Ghyca (1983) y por Lawlor (1993). También en Guillén (1997) se puede encontrar un estudio bastante exhaustivo de la interrelación de sólidos platónicos, a base de buscar de forma sistemática las posibles inscripciones entre poliedros regulares dispuestos de tal forma que las simetrías comunes coincidan (por ejemplo, como el cubo y el octaedro tiene las mismas simetrías, se podrán inscribir en los mismos poliedros, y también podrán inscribirse en ellos los mismos poliedros). En particular, al considerar los pares de poliedros (de un tamaño adecuado) que tienen exactamente las mismas simetrías, resultan parejas de sólidos en los que los vértices del poliedro inscrito yacen en los centros de las caras del otro poliedro, que son los pares de poliedros que hemos llamado duales.

Grabado de La Divina Proporción de Luca Pacioli, copia de una ilustración de Libellus De Quinque Corporibus Regularibus de Piero della Francesca (Manuscrito Urb. lat. 632 fols. 40 verso de laBiblioteca Vaticana, 1480) La imagen representa una original inscripción  de un icosaedro en un cubo, de forma que los vértices del icosaedro están situados sobre las caras del cubo.

Luca Pacioli inspirándose en las fuentes platónicas y euclídeas (y en primera instancia pitagóricas), en la obra de Vitrubio, en las conversaciones con Leonardo da Vinci y en los trabajos de Piero della Francesca, realiza la construcción y hace un estudio exhaustivo de los poliedros regulares y semirregulares  en su obra La Divina Proporción (Capítulos XXIV-LIV) donde abundan las referencias esotéricas y místicas (Luca Pacioli, 1946, 1992).

Diseños de Leonardo da Vinci del icosaedro y del dodecaedro que aparecen en la obra de Luca Pacioli La Divina Proporción (Venecia, 1509).

El famoso cuadro realizado por J. de Barbari en 1495 (Museo de Capidemonte, Nápoles) que representa a Luca Pacioli rodeado de elementos geométricos alusivos a una página de Euclides, en relación con los poliedros, a cuyo estudio está dedicada gran parte de su famosa obra La Divina Proporción. En la pintura aparece el dodecaedro como símbolo de unión mística entre maestro y discípulo (que representa a Guidobaldo, Duque de Urbino, aunque algún osado ha querido ver a un joven Durero), así como uno de los poliedros arquimedianos llamado por Kepler RomboCuboOctaedro, posiblemente redescubierto por Pacioli.