Uno
de los retos que tenemos en la actualidad muchos
profesores de matemáticas es la introducción
de la Resolución de Problemas como una
actividad cotidiana en nuestras clases.
No es una propuesta fácil pues choca
con planteamientos currriculares más
inclinados a los conceptos y sus procedimientos
asociados, donde, por tanto, priman los ejercicios
como actividad de enseñanza-aprendizaje
para trasmitir-adquirir los contenidos; choca
con la asignación temporal del área,
escasa, cuando la Resolución de Problemas
necesita bastante tiempo y choca con las concepciones
y actitudes de los alumnos, que creen que eso
no es matemáticas y, en gran medida,
no muestran unas actitudes necesarias cuando
se resuelven problemas: interés, paciencia,
reflexión, confianza en sí mismo…
Nosotros no tenemos una respuesta totalmente
satisfactoria; sí realizamos aproximaciones
desde diversos planteamientos temporales: Concursos
de Resolución de Problemas a lo largo
de varios meses, Salones de Juegos, Gymkhanas
matemáticas o días puntuales
en clase (final de trimestre, semana cultural,
Día Escolar de las Matemáticas…),
etc.
Queremos hoy mostrar algunos problemas donde
el poder manipular elementos produce, en primer
lugar, un efecto de atracción y, posteriormente,
facilita su resolución, porque permite
explorar, analizar las distintas posibilidades
y elegir una y no otras sin tener que anotar
ni borrar nada.
Otro de los aspectos que ayuda a hacer atractiva
la Resolución de Problemas es la presentación
de los mismos. En edades tempranas es un requisito
imprescindible. Una presentación cuidada,
con buena impresión de los textos e
imágenes en color, nos atrae a todos.
Si se utilizan elementos cotidianos (fichas
de damas, tapones de botellas de plástico,
piezas de juegos ya desechados, tacos de madera,
etc.) además de una cierta familiaridad
estamos reciclando objetos que seguramente
acabarían en la basura.
Los tableros de estos problemas son fáciles
de construir sin más que un procesador
de textos y un programa de tratamiento de imágenes.
Es interesante que el enunciado del problema
figure en el propio tablero pues da autonomía
a los alumnos y no es necesaria una presencia
constante del profesor.
Los problemas que presentamos permiten, en
general, adaptaciones a diversos niveles de
dificultad, desde Primaria a Secundaria, y
debe ser el profesor, en virtud de los alumnos
con los que vaya a trabajar, el que modifique
adecuadamente los enunciados.
Edificios
El tablero siguiente es una manzana de
edificios, uno por casilla. En cada línea,
horizontal o vertical, los edificios son
todos de distinta altura. Los números
del contorno indican cuántos edificios
son visibles desde esa dirección.
Por ejemplo, si se mira la secuencia de alturas
1, 4, 3, 2 de izquierda a derecha veremos
2 edificios (el 1 y el 4) y mirando de derecha
a izquierda se ven 3 (el 2, el 3 y el 4).
En la esquina superior izquierda aparecen
dos números que señalan las
alturas que se dan en esa manzana.
¿Cuál es la distribución
de los edificios?
Edificios 1
1-4
|
3 |
1 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
1 |
2 |
|
Si la presentación de este problema
fuese simplemente así se trataría
de un pasatiempo con lápiz y papel cuya
resolución no es atractiva para los
alumnos por la inseguridad de la equivocación
y el tener que estar borrando con frecuencia.
Para evitar esto nosotros lo planteamos como
un problema para manipular. En una hoja de
papel A4 diseñamos el tablero como una
tabla de Word, en color para que sea atractivo,
y por otro lado construimos los edificios.
Para ello utilizamos ortoedros de madera de
4x2x1 cm; pensando en utilizarlos en un juego
de hasta cinco plantas hacen falta 75 piezas
base (cinco de cinco plantas, cinco de cuatro,
cinco de tres…) que se pegan con cola
de carpintero para conseguir los edificios
necesarios.
A partir de este momento comienza el razonamiento
y la manipulación. Aunque en un principio
no se sabe cómo empezar, pronto se cae
en la cuenta de que se ve un edificio solamente
cuando todos los que están detrás
son más bajos, por lo tanto, si en el
margen hay un 1 es porque el primer edificio
es el más alto. Siguiendo el procedimiento
de colocar los que estén seguros por
la indicación numérica y completar,
teniendo en cuenta la regla de que en cada
fila y columna sólo hay un edificio
de una determinada altura, se va rellenando
el tablero en su totalidad.
Una vez construidos los edificios basta con
elaborar distintos tableros sin más
que modificar el contorno numérico,
así se rentabilizará el esfuerzo
realizado en la construcción de los
edificios. Además permite plantear situaciones
con distintos grados de dificultad (como veremos
en las posibles variantes de este tipo de problemas)
para abarcar los distintos niveles de desarrollo
que podemos encontrarnos entre los alumnos
de una clase.
Puede ocurrir que un problema tenga más
de una solución, esto ocurre a partir
de cinco plantas, porque pueden permutarse
los bloques más bajos “tapados” por
los más altos sin que incumplan la condición
numérica. Tal es el caso del ejemplo
de cinco alturas que proponemos a continuación.
Edificios 2
| 1-5 |
1 |
2 |
2 |
2 |
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
2 |
1 |
3 |
2 |
|
Variante 1
Una forma de presentar el problema es no dando
todos los datos del contorno, pero sí los
necesarios para la resolución. Aunque
en principio puede asustar un poco realmente
no se necesita más información.
Edificios 3
Variante 2
La única diferencia entre esta variante
y los edificios regulares es que ahora hay
espacios en blanco (uno en cada fila y columna),
que corresponden a parques. No son edificios
y al no tapar la vista, no se cuentan. ¿Puedes
colocar los edificios?
Edificios 4
| 1-3 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
1 |
2 |
|
Variante 3
En esta modalidad los números del contorno
indican la suma de las alturas de los edificios
que se pueden ver desde ese lado de la fila
o la columna; por ejemplo, la fila 2-4-1-3
tiene una suma de 6 vistos de izquierda a derecha
y una suma de 7 vistos de derecha a izquierda.
Edificios 5
Puestos
de vigilancia
El plano siguiente muestra las calles
de una ciudad. Coloca tres policías
en las esquinas de forma que vigilen todas
las calles y que en una misma calle no haya
más de un policía.
Este tipo de problemas tiene unas condiciones
muy simples (tres policías, ver todas
las calles y no haber más de dos en
una calle) que lo hacen asequible para alumnos
de Primaria (a partir de 2º ciclo). Sin
embargo sería sumamente complicada su
resolución a estas edades si no se hace
de forma que se puedan mover, en caso de error,
los policías.
Basta diseñar un tablero con el plano
ampliado (es aconsejable que aparezca también
el enunciado del problema), imprimirlo, plastificarlo
(para evitar su deterioro) y buscar tres objetos
que hagan de policías: monedas, piedrecitas,
fichas de parchís o damas… para
empezar a resolverlo.
Otro plano de un barrio, donde
con tres policías hay que vigilar todas
las calles interiores, es el siguiente:
Colocando fichas
Es frecuente encontrarse con enunciados de
problemas donde un tablero y fichas sean los
elementos para cumplir determinadas condiciones.
En este caso el material es sumamente fácil
de elaborar y como fichas se pueden utilizar
tapones de refresco, que se pueden conseguir
en distintos colores y cantidades abundantes,
sobretodo si se hace un acopio colectivo con
toda una clase, y que además sirve para
reutilizar un elemento que de otra manera acabaría,
en el mejor de los casos, en el contenedor
de plástico.
Los niveles de dificultad suelen ser variados
según los enunciados y muchas veces
se pueden adaptar a distintas edades: utilizando
tableros de mayor o menor tamaño (3x3,
4x4…); exigiendo simplemente la colocación
de las fichas o pidiendo además todas
las formas posibles en que se puede hacer,
etc.
Fichas a la vista
Dos fichas colocadas en un tablero cuadrado “se
ven” si:
- en cada cuadro no hay más que
una ficha,
- están en la misma fila o columna,
- entre ellas no hay ninguna otra ficha.
- ¿Cuántas fichas se
pueden colocar en un tablero 3x3 (4x4,
5x5…) de forma que cualquiera
de ellas “vea” exactamente
a otras dos?
- ¿De cuántas formas
distintas se pueden colocar? Dos posiciones
se consideran diferentes si no son simétricas
respecto de alguno de los cuatro ejes
de simetría del cuadrado o respecto
del centro.
Para ejemplificar esto último tenemos
en la siguiente imagen cuatro posiciones correspondientes
a un tablero 4x4. A y B son soluciones diferentes;
sin embargo, B, C y D son la misma.
Ocho Tapones
Coloca ocho tapones (cuatro de un color
y cuatro de otro) en un tablero 4x4, como
máximo uno en cada círculo,
de manera que no haya dos tapones de un mismo
color en casillas que se encuentren en la
misma fila, columna o diagonal.
Diez Tapones
Coloca diez tapones en un tablero 4x4,
como máximo uno en cada círculo,
de manera que cada fila, cada columna y cada
diagonal principal tenga un número
par de tapones.
Buscaminas
Casi todo el mundo conoce, sobretodo los alumnos,
el juego del buscaminas que suele venir instalado
con Windows. En una cuadrícula está oculta
determinada cantidad de minas. Al inicio todas
las celdas de la cuadrícula están
tapadas. Cuando destapamos una celda que oculta
una mina, hemos perdido el juego; si no oculta
una mina, la celda destapada nos indicará cuántas
minas hay en las ocho casillas adyacentes a
ella (horizontales, verticales o diagonales).
Se gana el juego si se destapan todas las casillas
que no contienen minas.
Nosotros proponemos una variante para poder
manipular fichas.
En el tablero hay 5 minas. Cada mina ocupa
una casilla. Los números indican la
cantidad de minas que hay en las casillas
vecinas, en horizontal, vertical o diagonal.
Las casillas con números no tienen
minas. ¿Dónde están
situadas las minas?
Es un juego muy adaptable, en tamaño
y dificultad. A continuación aparece
un tablero 3x3 (junto con su solución),
en el que hay escondidas tres minas, que se
puede utilizar con los alumnos de Primaria.
De nuevo basta realizar un tablero y manejar
los tapones que representarán las minas.
Buscando casas negras (VI Olimpiada
Matemática Gallega, 2 ESO, 2004)
El siguiente tablero representa un barrio
formado por casas blancas y negras que hay
que descubrir. La cifra que aparece en cada
celda indica el número de casas negras
que tiene alrededor (incluida ella misma).
Problemas
de lógica
Los dos problemas siguientes están
planteados para alumnos de Primaria. Los elementos
que se pueden manipular son objetos (figuras
geométricas o números) que se
pueden construir fácilmente en cartón,
plástico o madera.
El problema del restaurante
Los señores Círculo, Cuadrado,
Rectángulo y Triángulo (en
color azul) fueron, con sus respectivas esposas
(en color rojo), a comer a un buen restaurante.
Se sentaron en una mesa circular, de manera
que:
- Ninguna esposa se sentaba al lado de
su marido.
- Enfrente diametralmente del señor
Cuadrado se sentaba el señor Triángulo.
- A la derecha de la señora Círculo
se sentaba el señor Rectángulo.
- No había dos esposas juntas.
¿Quién se sentaba entre
los señores Cuadrado y Círculo?
Los números ordenados
Coloca los números del 1 al 9 en
tres filas y tres columnas, teniendo en cuenta
que:
- 3, 6 y 8 están en la línea
horizontal superior.
- 5, 7 y 9 están en la línea
horizontal inferior.
- 1, 2, 3, 6, 7 y 9 no están en
la línea vertical izquierda.
- 1, 3, 4, 5, 8 y 9 no están en
la línea vertical derecha.
