Conviene
de vez en cuando volver a echar un vistazo
a algunas películas del pasado. A
veces encontramos algunas sorpresas. Pero
también en algunas muy recientes sigue
apareciendo algún que otro matemático.
En
esta ocasión recordaremos Ahora
me toca a mí (It´s
my turn, Claudia Weil, EE. UU., 1980),
que desde luego no pasará a la posteridad como una de las mejores películas de la historia, cinematográficamente hablando, pero sí merece un lugar muy destacado en cuanto a las matemáticas
que encierra.
La película no es muy conocida, ha sido pocas veces emitida por televisión, es difícil de localizar, y en conjunto, como acabo de comentar, es más bien mediocre, pero es la única
en la que se enuncia completamente un teorema
y se demuestra con todo
detalle, al punto de haber sido referenciada
por textos específicos de álgebra homológica.
Jill
Clayburgh interpreta a Kate Gunzinger, una
profesora universitaria de matemáticas un tanto despistada y avasallada por casi todo el mundo que decide en un momento dado tomar sus propias decisiones harta de tener que ceder siempre (de ahí el título de la película).
Vayamos con las escenas que nos interesan.
Paralelamente
a los títulos de crédito y al padecimiento de una de las bandas sonoras más machaconas y omnipresentes que jamás hayamos oído, Kate se dirige a una de sus clases en la Universidad. Se le caen algunas cosas al suelo, vuelve sobre sus pasos como si se le hubiera olvidado algo..., detalles que definen a una persona bastante insegura y serán constantes a lo largo de todo el metraje. En la siguiente escena aparece en un aula explicando la demostración
del conocido como lema de la serpiente de álgebra homológica en una pizarra frente a un reducido grupo de alumnos. Uno de ellos, Stanley Cooperman, el listillo de la clase, no hará otra cosa que levantar la mano para mostrar su desacuerdo (y hacerse notar) e interrumpirla sin dejarla prácticamente
hablar con comentarios fuera de lugar.
Reproduzco
el diálogo que mantienen en la versión
doblada al castellano (en el libro Las
matemáticas en el cine,
Proyecto Sur de Ediciones 2006, aparece también la versión original en inglés
del mismo):
Kate: Dejadme mostraros
cómo
construir la aplicación S que es lo
más divertido del lema. Supongamos
que tenemos un elemento en el Ker γ,
es decir, un elemento en C, de modo que γ lo
lleva a cero en C’. Podemos volver
a B vía la aplicación g que
es suprayectiva.
En
ese momento se produce la primera interrupción
de Cooperman (en la foto el alumno que se
ve de espalda).
Cooperman: ¡Un momento, un momento! No es la única solución.
Kate
prosigue su explicación como puede.
Kate: Lo es, Sr. Cooperman,
(enlazando con la explicación anterior)…hasta
llegar a un elemento en la imagen de f, ¿de
acuerdo? Entonces volvemos a un punto fijo
b aquí (señala a B). Tomando β de
b, llegamos a cero en C’ por la conmutatividad
del diagrama. Está por tanto en el
núcleo de la aplicación g’ (el
alumno hace gestos negativos con la cabeza), y
por ello en la imagen de f ’ por la
exactitud de la sucesión inferior
...
Cooperman: ¡No!
Kate: ...podemos retroceder...
Cooperman: ¡No!
Kate: ...a
un elemento de A’...
Cooperman: ¡No está bien
definido!
Kate: Está bien definido gracias a la imagen de α. Y define un elemento en Coker α.
Esta es la serpiente (dibuja una flecha
en el diagrama, desde Ker γ hasta Coker α). Y
el lunes, si les parece bien, apagaremos la teoría
de grupos y las consiguientes objeciones del
Sr. Cooperman (levanta la pizarra, los alumnos
se van y se queda sola con Cooperman recogiendo
sus libros y ella limpiándose las manos y colocándose
unas pulseras en sus manos).
Cooperman: Todo
esto no son más que chorradas; parecen mapas de carreteras. ¿Cuándo vamos a hacer algo interesante, como su particular teoría de grupos? ¿Algún
progreso en su nuevo proyecto?
Kate: (sonriendo forzadamente) No; estoy estancada.
Cooperman: Quizá con su método no sea posible llegar a una solución
definitiva.
Kate: (un tanto perpleja) ¿Usted
cree?
Cooperman: Yo lo estoy
intentando desde un ángulo totalmente nuevo. Y si da resultado, ....., seré famoso.
Kate: Eso
sería fantástico, me escalofría pensarlo. Yo sería famosa por haberle enseñado (cada uno sale por una puerta diferente del aula) ¡Gilipollas! (en voz baja).
Si
la película fuera española
y ese fuera el diálogo, estaríamos
de acuerdo con Cooperman, ya que en el doblaje
se han omitido unas cuantas palabras clave
en la demostración del resultado.
Sin embargo en la versión original
está perfecta y claramente descrito.
Describamos el resultado desde el principio
y su correspondiente demostración:
Lema:
Se considera el siguiente diagrama conmutativo
en una categoría abeliana
donde
las filas son sucesiones exactas. Existe entonces
una sucesión exacta
0 → Ker α → Ker β → Ker γ → Coker α → Coker β → Coker γ → 0.
Notas:
1.-
La categoría de la que se habla en la película
es la de grupos abelianos,
pero el resultado es igualmente válido para módulos
sobre un anillo, o para espacios vectoriales
sobre un cuerpo.
2.-
Recordemos (aparece también en la pizarra
de la película en un margen) que una sucesión
0 → A 
B 
C → 0
es
exacta si, y sólo si, la imagen de cada
una de las cuatro aplicaciones coincide con
el núcleo de la siguiente. De esta condición
se deduce que la sucesión es exacta,
si y sólo si, f es inyectiva, g es suprayectiva
y g induce un isomorfismo de Coker(f) = B/f(A)
sobre C.
Las
aplicaciones entre los núcleos y los
conúcleos
se inducen de manera natural de las aplicaciones
horizontales gracias a la conmutatividad
del diagrama. La exactitud de esas dos sucesiones
inducidas se sigue de forma directa de la
exactitud de las filas del diagrama original.
El punto importante del lema es cómo
conectar el Ker γ con el Coker α (a
esa aplicación
la llamaremos S).
Repasemos la
demostración. Sea x∈Ker γ ⊆ C.
Como g es suprayectiva, existe un b∈B
tal que g(b)
= x. Por la conmutatividad del diagrama
(g’ · β = γ · g),
g’(β(b)) = γ(g(b))
= γ(x)
= 0 (porque x∈Ker γ),
o sea que β(b)∈Ker
g’. Como la sucesión inferior
es exacta, Ker g’ = Im(f ’),
es decir, existe y∈A’ tal
que f ’(y)
= β(b). Se
define entonces S(x) = y + Im α.
Queda
para el lector interesado la prueba que tanto
demanda el alumno Cooperman, es decir que
S está bien definida (o sea que S(x)
sólo
depende de x y no
de las elecciones de b y de z), y las demostraciones
de que S es un homomorfismo y que la sucesión
resultante es exacta. En ningún
caso es demasiado complicado; basta tener
un poco de paciencia para escribirlo todo
correctamente.
Hace
años el álgebra homológica no
era una materia atractiva: demasiado formalismo,
aburrida y poco útil para todos aquellos
que no se dedicaran a la topología
algebraica. Hacia 1958 esta actitud
cambió cuando Serrre la utilizó para
la caracterización de anillos regulares
locales y utilizó este criterio para
demostrar que cualquier localización de
uno de estos anillos es asimismo regular
(hasta entonces sólo se conocían
casos particulares). Casi a la vez se logró demostrar
(Auslander y Buchsbaum) que todo anillo regular
local es un dominio de factorización única.
Con el tiempo, al ampliarse el campo de aplicación
del álgebra homológica, ésta
se ha ido convirtiendo en una parte necesaria
dentro de la formación de los licenciados
en matemáticas, aunque su enseñanza
sigue siendo dificultosa para el profesor
por la pesadez de sus definiciones y la escasez
de sus aplicaciones. Esta situación
es la que trata de reflejar esta escena de
la película que, justo es reconocerlo,
está perfectamente
documentada.
Charles A. Weibel, profesor de la Universidad de Rutgers en su libro An Introduction To Homological Algebra,
cuya segunda edición fue publicada en
octubre de 1995 por Cambridge University Press,
afirma al describir en el libro este resultado
que “no se incluye la demostración del teorema de la serpiente porque lo mejor es visualizarla. De hecho, una prueba bastante clara es la mostrada por Jill Clayburgh al inicio de la película “Ahora
me toca a mí”.
En
internet, dicha secuencia puede verse (en
inglés) en el enlace
www.math.harvard.edu/~knill/...
En
los EE. UU. se comercializan gorras, jarras,
camisetas, relojes, pins y demás merchandising con
dibujos relativos a teoremas varios (no deja
de ser un modo de recordarlos). A modo de
ejemplo véanse los modelos para el lema
de la serpiente y el de la mariposa de Zassenhaus,
ambos de álgebra homológica:
Al
llegar a casa, Kate le cuenta a su compañero
Homer (Charles Grodin) el incidente con el
alumno. Él es un arquitecto muy atareado
tanto con su trabajo como con sus deberes
de custodia temporal de sus hijos (está divorciado),
y no le hace mucho caso. En la cama, un poco
más relajados, Kate garabatea demostraciones
matemáticas en la parte de atrás
del sobre de una carta (esto de resolver
o pensar problemas de matemáticas
en cualquier espacio libre del papel que
se encuentre más a mano, por pequeño
que sea en lugar de ir a buscar un folio
en condiciones, seguramente os resultará familiar).
Su compañero le sugiere que lo deje,
a lo que ella, pensando en lo suyo, le contesta
que alcanzaría una consideración
similar a Euclides o Newton si lograra resolver
el problema que se trae entre manos. (Nada
menos que el de la clasificación
de los grupos simples). Ella
misma añade a continuación: “¡Claro
que Newton hizo sus descubrimientos a los
22 años!”.
(Tema muy discutido y un tanto polémico:
son muchos los que piensan que, salvo raras
excepciones, ningún matemático
descubrirá nada relevante pasados
los treinta años
de edad. Las medallas Fields sólo
se conceden a menores de 40 años)
Lo
cierto es que Kate tiene además dos problemas añadidos: decidir si aceptar un trabajo administrativo en Nueva York mejor pagado que sus clases, y asistir a la boda de su padre con una mujer que no le cae nada bien. Finalmente se desplaza allí para cumplir con ambos cometidos. A la salida de la entrevista de trabajo, charla con los matemáticos que le han informado sobre el mismo. Uno de ellos le confiesa la admiración
que siente por su tesis doctoral y la pregunta
si ha avanzado algo en sus investigaciones.
Conocida la respuesta, este profesor la confiesa, “me
volví loco con la teoría de grupos”, y a continuación
le dejan bien claro que si acepta el trabajo
que la proponen, no pueden garantizarla tener
tiempo para proseguir con sus investigaciones.
Horas
después, Kate asiste a una cena familiar previa a la celebración de la boda de su padre, en la que se presentan los familiares y amigos más allegados. Llega tarde, y para no variar, tropezándose y metiendo la pata en algunos momentos. Su padre la presenta a los demás con orgullo como uno de los mejores expedientes de su promoción: “Consiguió matrícula de honor en todos los exámenes preuniversitarios excepto en geometría plana. Su tesis tenía que ver con los conjuntos esporádicos”. (De nuevo una traducción
incorrecta: el original dice claramente “grupos
esporádicos”). A renglón seguido, Jerome (Charles Kimbrough), un psiquiatra bastante repelente, se interesa, más por morbo que por otra cosa, por la razón por la que no tuvo matrícula en geometría
plana. Kate responde: “En el problema
había que calcular el área de un patio alrededor de una piscina y apliqué el método correcto, pero coloqué el
patio dentro de la piscina (Risas de ella y sonrisita forzada de Jerome). Eso
no me ocurriría ahora. Vivo con un arquitecto”. Como en otrtas ocasiones vuelve a aparecer el manido tópico que coloca a los matemáticos como buscadores de la solución
perfecta que no sirve para nada.
De
vuelta a casa, después de un romántico fin de semana con el hijo de su madrastra (un joven Michael Douglas), un destacado jugador de béisbol retirado por una lesión,
se encuentra con Homer, que lleva a sus hijos
a casa de su ex mujer. Uno de ellos al ver
a Kate le dice, “El número primo, ¿no es aquel que sólo puede ser dividido por sí mismo
y por la unidad?” Kate le va preguntando sucesivamente si el 2 y el 3 lo son, respondiendo el niño afirmativamente. Al llegar al 4, el niño
lo niega porque “es 2 por 2”. Todo ello, mientras su padre va arrastrándolo
hacia el coche.
Finalmente, al
día siguiente, el pesado alumno Cooperman asalta a Kate nada más
aparecer por el campus
Cooperman: ¿Ha hecho algún
progreso?
Kate: Creo que
me equivoqué en cuanto al enfoque. Tengo
unas ideas nuevas sobre el proyecto.
Cooperman: ¿Se refiere a la transición
del punto cero al punto G?
Kate: Sí, en el caso más
sencillo.
Cooperman: Sí, quizá funcione. Es posible que la clasificación desaparezca. Enseguida llegará al
cociente. Es inmediato. (muy alterado) Demuéstremelo.
Kate (con prudencia): Es
sólo el principio. Lo difícil será demostrarlo.
Dejando
aparte, lo críptico de estas últimas
afirmaciones, lo curioso es que en el año
de producción de la película,
1980, el problema del que hablan de la clasificación
de grupos simples no estaba resuelto,
pero al poco, en 1985, se consiguió,
mucho antes de lo que se esperaba. El asesoramiento
matemático de la película corrió a
cargo de Benedict H. Gross (no aparece en los
títulos de crédito), profesor
de la Universidad de Harvard, especialista
en teoría de números,
responsable junto a Don Zagier del teorema
de Gross-Zagier acerca
de L-funciones sobre curvas elípticas.
Así pues su labor de documentación
no sólo
fue excelente sino premonitoria.
El
teorema de clasificación establece
cinco tipos diferentes para cualquier grupo
simple finito, entre los que están los grupos cíclicos de orden primo, algunas clases de grupos de Lie y los grupos esporádicos (de los que existen 26 variedades), de los que habla la película. Este teorema contiene unos 100 teoremas individuales y su demostración completa ocupa 15.000 páginas por lo que se le conoce también
como el teorema enorme.
Y no son nada gratuitas las afirmaciones
de los protagonistas sobre la importancia
de su deducción, ya que el papel que desempeñan los grupos simples en teoría de grupos, es similar al de los números primos en teoría de números. Cualquier número natural tiene una factorización única en producto de números primos; cada grupo finito puede representarse como producto de un subgrupo normal por un grupo cociente. Así, es posible construir grupos finitos a partir de grupos simples. Por eso el objetivo prioritario de la teoría de grupos finitos fue durante mucho tiempo el dar una clasificación
completa de los grupos simples.
Puede
parecer extraño que una rama tan abstracta
de las matemáticas haya sido elegida
como referencia en una película, pero
no es un caso único.
En Antonia (Antonia´s
Line, Marleen Gorris, Holanda, 1995) también
el álgebra nomológica es la protagonista
de una escena, y curiosamente, también
la película está dirigida por
una mujer, y también la protagonista
que estudia esa materia es del sexo femenino. ¿Hay
mas mujeres que hombres dedicándose
a esa rama? ¿Simples casualidades? Hala,
este mes hemos dado con nuevos enigmas para
que los “amantes del misterio” investiguen
y rellenen folios y programas radiofónicos
y televisivos.
Asuntos
más recientes
Hace
unos días se ha estrenado Revolutionary Road,
(Sam Mendes, EE.UU. y Reino Unido, 2009) presentada
como el retorno de la archifamosa pareja Di Caprio-Winslet.
En este caso, la película tiene pinta interesante (aún
no la he visto), al menos no tan almibarada como
la del Titanic.
Uno de
los protagonistas esenciales es John Givings
(interpretado por Michael Shannon, el de la
foto) que encarna a un matemático un tanto desequilibrado (¡cómo no!) pero que es el único (y por ello el público se identifica mucho con su personaje) que se muestra sincero con la pareja protagonista y que les hace ser conscientes de la verdadera realidad de entre todos los hipócritas
aduladores que forman parte de su vida.
No hace mucho, en El
buen alemán (The Good German,
Steven Soderbergh, EE. UU., 2006), otro matemático no menos atormentado, era el origen de parte de la intriga que surgía en el Berlín de finales de la II Guerra Mundial. Pero en ninguno de los casos aparece matemática alguna, sólo
un personaje que personifique un determinado
rol.
Estos comportamientos distan
mucho de la información que aparece
en un reciente informe realizado
en los EE. UU publicado en enero en el Wall
Street Journal. en la que se considera la profesión de matemático como la mejor de entre una lista de unos doscientos oficios y ocupaciones. En el enlace podéis
leerlo.
Recordaros
finalmente que cualquier petición, sugerencia,
crítica o comentario a esta sección
podéis hacérmelo llegar a la
dirección electrónica que aparece
abajo y con mucho gusto trataré de
darle cumplida respuesta.
