En esta ocasión además de anticipar el contenido matemático de los episodios de Numb3rs que Calle 13 tiene previsto para este mes, damos cumplida respuesta a algunas cuestiones que nuestros lectores nos plantean (¡por fin os vais animando!), entre ellas las que tienen que ver con una cadena de números que aparece en otra serie de éxito, Perdidos (Lost) que Tve1 ha emitido de vez en cuando.

Vamos primero con lo más sencillo. Algunos de vosotros tenéis alguna dificultad para conseguir el libro Las Matemáticas en el cine, coeditado por Proyecto Sur de Ediciones y la RSME. En efecto hay algunas zonas del país en las que la distribuidora de libros no sirve los pedidos demasiado bien o los libreros no desean entrar en conflicto con otras distribuidoras de la propia región. En ese caso hay varias librerías que sin ningún problema y con bastante rapidez sirven el libro pedido por internet. Se trata de Casa del libro, Librería Catalonia (Barcelona) o Librerías Proteo y Prometeo (Madrid). También la propia editorial Proyecto Sur lo envía aunque no lo tenga anunciado en su página web. Un regalo original para estas Navidades.

Otra cuestión planteada es la “queja” acerca del espacio que se dedica a la serie Numb3rs que no todos pueden ver (el canal Calle 13 es de pago). Ciertamente es una lástima que la serie no la emita una cadena generalista, pero no es menos cierto que lo importante son los aspectos matemáticos que contempla, los cuales se describen de manera que no haga falta ver los capítulos para entenderlos (aunque si se siguen, obviamente, mejor), y sobre todo, que sirvan para darnos ideas de cara a elaborar nuestras propias actividades sobre aplicaciones a la vida cotidiana de campos matemáticos que no entran en los currículos de nuestras asignaturas pero que pueden describirse de un modo sencillo. Ese es para mí el aspecto más destacable de la serie (argumentalmente es una de tantas), el esfuerzo por mostrar aplicaciones reales de las matemáticas.

El mes pasado un compañero del IES Sant Quirze del Vallés, Josep Mª Aguadé, nos envió un mensaje indicándonos otra serie televisiva de culto, Perdidos, que en su segunda temporada plantea algunos enigmas con la secuencia  4, 8, 15, 16, 23, 42. Para situar al lector no familiarizado con la serie (mi caso por ejemplo hasta comenzar a redactar esta reseña) hagamos un breve resumen del argumento tomado de una de las abundantes páginas dedicadas a la serie que circulan por internet

El vuelo 815 de una compañía aérea se estrella en una remota isla en medio del océano Pacífico. Los 48 supervivientes se dan cuenta enseguida de que están realmente perdidos a miles de kilómetros de su ruta prevista por lo que es poco probable que sean rescatados. Pronto serán conscientes de que en aquel lugar suceden extraños fenómenos que provocarán en ellos diferentes reacciones y respuestas. Obviamente no faltan las típicas filias y fobias de la convivencia diaria que junto a misteriosas situaciones irán crispando el ambiente hasta extremos inaguantables. (¿No os suena a Cube (Vincenzo Natali, Canadá, 1997)? ¿O a El señor de las moscas (Lord of the Flies, dos versiones una británica de 1963 y otra norteamericana de 1990)?).

Uno de los aciertos de los guionistas ha sido sin duda el no desvelar en los primeros capítulos el trasfondo fantástico de la serie (¿no os suena esto a Twin Peaks (David Lynch, EE. UU., 1990)?) lo que ha servido para enganchar a muchos aficionados tanto a la ciencia ficción como al misterio y a algún otro que pasaba por el canal correspondiente en ese momento. Y por supuesto el boca a boca junto a una brillante puesta en escena, todo hay que decirlo, ha convertido a esta serie en una más de culto con muchos seguidores en todo el mundo.

Para aderezar un poco más el guiso argumental cada superviviente, como si de los reality tipo Gran Hermano se tratara, tiene un pasado cercano a lo surrealista que los realizadores de la serie nos van introduciendo en pequeñas dosis para que la cosa se alargue ad infinitum (no me gustaría parecer demasiado negativo, pero según voy escribiendo estas líneas me lo voy pareciendo; esto seguramente es fruto de que uno ha visto ya tantas películas y series que seguramente pocas me parecen realmente originales). Además se han ido difundiendo datos en internet sobre elementos ficticios de la serie que se han hecho pasar por reales, como una web de la inexistente compañía aérea del vuelo accidentado, la fundación Hanso o el proyecto Dharma que explica parte de la serie a partir de la segunda temporada. Es en este instante donde surge la citada sucesión (episodio titulado Números) a partir de la cual los protagonistas y los televidentes comienzan a asociarla a todo tipo de sucesos tanto de su pasado como de su futuro.

Y aquí es donde los guionistas juegan con todos, haciendo aparecer esos números,  combinaciones y operaciones con ellos en todas partes, dando a entender que éstos esconden más de lo que parece, algo así como “la sucesión que rige el destino del mundo”. Como casi siempre en este tipo de películas, la persona que los descubre acaba recluido en un sanatorio mental. Y no me extraña.

En la película Pi (Fe en el Caos) (Darren Aronofsky, EE. UU., 1998) el matemático Max Cohen cree haber encontrado un patrón universal que rige cualquier aspecto sobre la Tierra. Este patrón se basa en una cadena de 216 números que aparecen en los decimales de π, que explicarían las fluctuaciones de la Bolsa ya que su ordenador los obtiene también estudiando ese asunto, que describirían la esencia de Dios según una secta judía y que aparece en la Torah, su libro sagrado, etc. Al hablarlo con su profesor, éste le explica:
“Si te empeñas en encontrar el 216, lo encontrarás por todas partes. Habrá 216 pasos desde la esquina hasta la puerta de tu casa y el ascensor tardará 216 segundos en llegar a tu piso. Cuando tu mente se obsesiona con cualquier cosa, deshechas todo lo demás y sólo eres capaz de ver esa cosa. 320, 450, 22 o 10. Tú has elegido el 216 y lo encontrarás por toda la Naturaleza. Escucha: en el momento que descartas el rigor científico dejas de ser un matemático para convertirte en un numerólogo”.

En el libro de Martin Gardner, Los mágicos números del Dr. Matrix, editado en nuestro país por Gedisa, podemos encontrar el número 666, por ejemplo, ya sabéis, el número de la Bestia, aparece por todas partes, pero eso no es lo importante. Lo importante es que aunque no aparezca, lo podemos hacer surgir sin más que elegir convenientemente el sistema sobre el que contar. Y no sólo el 666, sino CUALQUIER número. Y hay muchos personajes que se ganan la vida engañando con este tipo de cosas a los demás con fantasías bastante burdas. ¿Por qué siempre se molestan en buscar el 666? ¿Por qué no tratan de buscar algún procedimiento para generar los números primos, que esos sí aparecen “misteriosamente” en todas partes (teorema fundamental de la aritmética)? ¿O la ley que rija la aparición de los primos gemelos? No, eso no interesa, ¿verdad? No es fácil, y sobre todo, no da dinero. Pues eso quizá nos aportara claves más trascendentes que toda la bazofia que nos largan. Me viene a la cabeza un reportaje de este pasado mes de noviembre, en el programa Cuarto Milenio, en el que se iba a hablar del otrora popular Triángulo de las Bermudas. A todos nos llaman la atención los misterios, y me dispuse a verlo tratando de ponerme al día sobre el tema, a ver si siguen desapareciendo barcos y aviones. El presentador introdujo el asunto mostrando algunos de los libros que fueron éxitos de venta en los pasados setenta. Yo mismo he leído algunos. ¿Y qué se comentó en el reportaje? Los mismos casos que contaban esos libros antiguos acompañados de alguna que otra afirmación (más bien preguntas) un tanto demenciales. Sólo faltó decir que no es casualidad que la zona describa un triángulo, el polígono más sencillo, el símbolo de Dios, la Santísima Trinidad, (los tres mosqueteros y las tres mellizas, añado yo) y bla, bla, bla. Al final se explicaba todo. Aquello era una excusa para presentar la enésima serie sobre el tema que la cadena iba a programar la semana siguiente.

Habiendo dejado clara por tanto mi postura (y creo que la de cualquiera con dos dedos de frente) sobre cualquier interpretación seudo-para-normal, volvamos a la sucesión de Perdidos. Las sucesiones numéricas constituyen una mina en la generación de juegos y problemas (incluso aparecen en tests elaborados por sesudos psicólogos). Uno de estos juegos consiste en continuar una sucesión numérica, encontrar el patrón que la genera. Desde el punto de vista matemático, sin ningún dato adicional que convierta a la sucesión en única, esto no tiene ningún sentido, ya que aunque conozcamos cinco, veinte o tres mil términos de una sucesión, ésta no tiene por qué continuar como aparentemente se deduce de una cantidad finita de ellos. Por ejemplo si nos preguntan sobre qué número sigue a los siguientes

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

probablemente digamos que 89 porque cada número parece ser la suma de los dos precedentes (sucesión de Fibonacci). ¿Qué diría el psicólogo encargado de evaluar un test en el que no se dé ninguna posible respuesta a un señor que responda 91? Diría que está mal cuando en realidad, la persona habría respondido conforme a otro modelo, el del menor entero mayor o igual que e^n/2−1 (o dicho de otro modo, [e^(x-1)/2], donde [x] es la parte entera de x). Calculándolo con DERIVE tendremos que  VECTOR(CEILING(SQRT(e^(n−2))), n, 1, 12) se simplifica a  [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 91, 149] (sucesión A005181 de Sloane). Y no es un caso patológico, habría centenares de sucesiones. Esto está indicado en un resultado conocido como Ley fuerte de los pequeños números (Strong Law of Small Numbers, Gardner 1980, Guy 1990), que indica que no hay suficientes números pequeños para cumplir los muchos requisitos que se les impongan, por lo que aparentes regularidades con números pequeños no son más que meras coincidencias. Por cierto he citado a Neil J. A. Sloane. Este matemático e informático comenzó en 1993 la publicación de una notable Enciclopedia de Sucesiones de números Enteros en la que incluía unas 5500 sucesiones diferentes. Desde entonces ha ido incrementando exponencialmente su número gracias a colaboraciones de amigos, compañeros y cualquier persona que quiera enviarle alguna nueva con algún motivo justificado. En la red tiene un enlace a The On-Line Enciclopedia of Integer Sequences. Si escribimos nuestra sucesión, aparecen dos resultados:

Sucesión A104101.- Los Números de  “Perdidos”

Estos números son el argumento central de la serie de televisión “Perdidos” en los episodios 18 y 101. Otro numero de la sucesión, quizá el siguiente, es el 540: el número de días que dos personas están en la estación 3: 4+8+15+16+23+42 = 108 x 5 = 540.. De acuerdo con el guión de la serie, 108 no es parte de la sucesión, sólo es la suma de los términos conocidos. Y después hay varios enlaces a otras páginas en los que se vuelve a elucubrar sobre la serie, y otras sucesiones con las que tiene relación.

Sucesión A122115.-  a(n) = a(n−1) + a(n−3) + a(n−5) para n > 2.

-3, -1, 4, 8, 15, 16, 23, 42, 66, 104, 162, 251, 397, 625, 980, 1539, 2415, 3792, 5956, 9351, …

Yo no me he resistido a meter el lápiz (bueno el ordenador) y he calculado el polinomio interpolador que tiene como datos los valores, 4, 8, 15, 16, 23, 42, para los nodos 1, 2, 3 ,4, 5, 6, respectivamente. Esto nos da un polinomio de grado 5:

Con él, el siguiente término sería el 46, y a partir de ahí todos valores negativos, pero podemos tomar el polinomio en valor absoluto y arreglado. Seguiría entonces con 52, 426, 1364, 3295, 6816, … Lo único que me ha llamado la atención es que cualquier valor que le dé al polinomio me devuelve siempre un valor entero (atención otra vez a los amantes de lo oculto, esto es curioso, pero no excepcional; hay muchos polinomios racionales tales que al sustituir valores enteros, nos devuelve siempre un entero). ¿Os animáis a demostrar que o bien esto es cierto en general, o a buscar un contraejemplo que lo contradiga? ¡Hala, ejercicio para las Navidades!

En todo caso, estoy completamente de acuerdo con Josep: ejemplos como éste pueden motivar a los alumnos a trabajar con conceptos matemáticos de interés, pero eso sí, sin que nos acaben obsesionando.

EPISODIOS DE NUMB3RS PROGRAMADOS ESTE MES EN CALLE 13

Os recordamos que la fecha de emisión son los lunes que se indican en cada episodio a las 22:20, pero que cada uno se vuelve a emitir tres veces más: los martes de la misma semana a las 17:45, y los sábados a la 21:30 y los domingos a las 15:30, éstos de la semana siguiente.

2.10.- Tóxicos (Toxin)  (4 – 12 – 2006)

Argumento: Después de que dos personas estuvieran a punto de morir envenenados, Don descubre que alguien está adulterando medicamentos. Don piensa que podría ser un ex-empleado de la compañía farmacéutica.

Aspectos Matemáticos: Criptoanálisis (descifrado de códigos) y teoría de la información, entropía, el problema de los puentes de Königsberg (teoría de grafos), árboles de Steiner.

El FBI encuentra un bloc de notas del sospechoso con algunos mensajes escritos en clave, aunque sin especificar ésta. Inicialmente los agentes conjeturan que podrían contener algún número de teléfono (aparecen diez dígitos en uno de los mensajes) que pudiera llevarles a descubrir a un misterioso cómplice del envenenador. Don sugiere poner a trabajar los ordenadores del departamento para descifrar el texto, mientras que su hermano Charlie propone un análisis basado en conceptos de teoría de la información. Charlie explica que para descifrar un texto en clave como el que han encontrado (basado en el método de sustitución: desplazar las letras del mensaje original una cantidad constante sustituyendo cada una por la que corresponda según esa cantidad) conviene tener un buen conocimiento del idioma (en este caso del inglés). Esto es debido a que en cada idioma hay letras que aparecen con más frecuencia que otras (por ejemplo, “a”, “o”, “s”, se utilizan más que “x”, “q”, “z”). Del mismo modo hay palabras que se utilizan más (artículos, preposiciones) que otras, o parejas de letras (diptongos, por ejemplo) que se combinan mucho más que otras. Un análisis de las frecuencias de aparición puede ser determinante.

En concreto el mensaje encontrado es

XJEW EMF WJFKF UQGGK WJEW ZQGG?

y posteriormente se intercepta

XJC QK WJF QAWFASFS HQIWQP?

Charlie propone utilizar la misma clave en ambos casos. Tratad de descifrarlo antes de ver el capítulo. Como pista puede utilizarse algo tan obvio como es que ambas son preguntas y por tanto las frases empiezan con alguno de los típicos pronombres interrogativos del inglés. La verdad es que descifrar las frases anteriores para personas que tienen cierta soltura (en algunos periódicos aparecen cifrados como éstos en la sección de pasatiempos) no es demasiado complicado. Estos malhechores son un tanto ingenuos si pretenden que estas instrucciones permanezcan ocultas con un cifrado como el que utilizan. Una vez conocida la clave, los agentes escribirán un mensaje trampa para tratar de descubrir al cómplice que aún no conocen.

La teoría de la información, desarrollada por el ingeniero y matemático Claude Elwood Shannon  (1916-2001), es la base del encriptado y descifrado de códigos. Basándose en las leyes de Boole y las leyes de la lógica, diseñó circuitos digitales. Trabajo en los laboratorios Bell y posteriormente en el MIT (Instituto Tecnológico de Massachussets, puntera y emblemática universidad privada norteamericana), siendo uno de los primeros en utilizar los bits como unidad de información así como técnicas de Inteligencia Artificial. En este enlace podéis encontrar más datos sobre su vida y su trabajo.

Charlie también sugiere utilizar el concepto de entropía esperada (concepto definido precisamente por Shannon en 1948) para hacer una estimación de la dificultad que podría tener descifrar esos mensajes. En criptografía la entropía mide la cantidad de “incertidumbre” utilizando distribuciones de probabilidad. A mayor entropía, más difícil resultará la tarea. Si todos los elementos tienen la misma probabilidad de aparecer, la entropía es máxima, mientras que si unos tiene más probabilidad que otros (como en el caso de las letras de un texto de un idioma como se comentó anteriormente) la entropía se hace menor, y las posibilidades de descifrarlo aumentan. En general la entropía esperada de que un determinado dígito aparezca dentro de un conjunto de cifras viene dada por la expresión

p(n) (−log₂ p(n)),

siendo p(n) la probabilidad de que ese dígito aparezca. Si lo que se analizan son varios códigos, la entropía es la suma de cada uno de ellos. Se utiliza habitualmente el logaritmo en base 2, y entonces la entropía se mide en bits. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda al aire para ver si sale cara o cruz (dos estados con probabilidad 0.5), tiene una entropía:

H = 0.5 (−log₂(0.5)) + 0.5 (−log₂(0.5)) = 0.5 log₂(2) + 0.5 log₂(2) = 0.5 + 0.5 = 1 bit.

La entropía tiene mucha importancia en la ciencia en campos como la biología, la física, la química, etc.

Charlie también menciona el famoso problema de los siete puentes de Köningsberg como ejemplo para indicar cómo seguir el rastro del envenenador. Como es sabido el problema lo resolvió Leonhard Euler (1707 – 1783) con un argumento que originó el posterior desarrollo de la teoría de grafos, teoría aplicable a la resolución de multitud de problemas y situaciones reales en los más diversos campos. En la red uno puede encontrar infinidad de páginas dedicadas a la teoría de grafos, incluso apuntes completos para seguir cursos tanto de introducción como avanzados.

A modo de resumen, el problema consistía en lo siguiente. La ciudad de Köningsberg estaba dividida en cuatro zonas por el río Pregel. Estas zonas se conectaban en la época de Euler por siete puentes tal y como aparecen en el dibujo.
Los ciudadanos se preguntaron si sería posible recorrer los siete puentes sin pasar dos veces por el mismo punto y acabando el recorrido en el mismo punto de partida. Euler utilizó el esquema adjunto para representar la situación, donde los puntos (nodos o vértices del grafo) simbolizan las cuatro zonas de la ciudad, y los segmentos que las unen (aristas o lados del grafo) los siete puentes. A partir de este grafo, Euler demostró la imposibilidad de la existencia de tal recorrido.

Posteriormente otros problemas influyeron en el desarrollo de la teoría de grafos como el estudio de las redes eléctricas, la enumeración de isómeros de hidrocarburos, etc. Hoy en día es rara la disciplina científica o humanística que no utiliza la teoría de grafos. Como ejemplos podemos citar la psicología en dinámica de grupos, la sociología en los sociogramas, la física teórica que usa los diagramas de Feynmann donde se representan las partículas elementales mediante líneas, el estudio de flujos en redes en programación lineal e investigación operativa, el recorrido óptimo de los camiones de basura en una ciudad, el trazado de carreteras, o los típicos pasatiempos de trazar un dibujo de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel.

Finalmente el episodio nos depara aún otro concepto matemático de interés. El envenenador ha hecho acto de presencia en tres lugares diferentes de las montañas de San Gabriel. Charlie conjetura que su escondite debe estar en algún lugar próximo a esas tres localizaciones. ¿Por qué no en las inmediaciones del punto geométrico que sea la distancia más corta a esos tres sitios? Ese punto de distancia mínima es conocido como punto de Steiner. Por otra parte, existe un tipo  especial de grafo conocido con el nombre de árbol. Se trata de grafos conexos y sin ciclos (ver dibujo adjunto). Dados  N puntos en el plano, construir un árbol de modo que su longitud total sea la mínima posible y cuyos nodos sean los puntos dados se denomina árbol recubridor euclídeo mínimo (en inglés, EMST, Euclidean Minimum Spanning Tree). El EMST puede no ser la solución optima al problema, es decir, que pueden existir otros árboles que conteniendo a los vértices del problema original su longitud sea menor que la del EMST. Estos árboles se denominan árboles de Steiner (Steiner Trees), y son el resultado de añadir al conjunto original algunos vértices nuevos. La computación de los árboles de Steiner resulta ser un problema difícil como demostraron en 1976 Garey, Graham y Johnson. Con la tecnología actual no somos capaces de afrontar problemas de árboles de Steiner con más de 25 puntos. Es superfluo apuntar las muchas aplicaciones de gran interés correspondientes a los árboles EMST y los de Steiner: Sistemas de Telecomunicaciones de Datos, Diseño de Redes de Sistema Eléctrico, Planificación de Transporte Urbano, todos ellos con coste de la instalación mínimo, ya que se exige que el recorrido sea mínimo.

El primero en utilizar el concepto de árbol fue Gustavo Kirchhoff (1824 – 1887) en sus trabajos sobre redes eléctricas Más tarde la teoría de árboles fue desarrollada (y bautizada así) por Arthur Cayley (1821 – 1895) en el estudio de determinados isómeros de los carburos saturados. El matemático suizo Jacob Steiner (1796 – 1863) trabajó en problemas de caminos mínimos, de ahí que el árbol óptimo descrito con anterioridad se bautizase con su nombre. Con la aparición de los computadores, los árboles se utilizan en el estudio de las estructuras de datos, clasificación, teoría de la codificación y problemas de optimización.

2.11.- El legado de la tribu (Bones of Contention)  (11 – 12 – 2006)

Argumento: Una investigadora especializada en antigüedades nativas americanas es asaltada y asesinada en el museo en el que trabaja. El equipo de Don tratará de averiguar quien lo hizo y porqué. Mientras el padre de los hermanos protagonistas lo está pasando mal recordando algo del pasado.

Aspectos Matemáticos: Función exponencial, Diagramas de Voronoi.

En este episodio Charlie explica a su hermano el fundamento matemático de la datación de un objeto mediante la técnica del Carbono 14, una aplicación que reúne conceptos de química, biología y física y que permitió a Willard F. Lobby obtener el premio Nobel en 1960.

Esta técnica se basa en el hecho de que cualquier organismo vivo mantiene una cantidad constante del isótopo radiactivo denominado carbono 14 (¹⁴C, en lo sucesivo, descubierto en 1940 por Martin Kamen y Sam Ruben) que va decreciendo de forma exponencial (como cualquier sustancia radiactiva) después de la muerte del citado organismo. El ¹⁴C es producido de un modo continuo en la atmósfera como consecuencia del bombardeo de átomos de nitrógeno por neutrones cósmicos. Este isótopo creado es inestable, por lo que, espontáneamente, se transmuta en nitrógeno-14 (¹⁴N). Estos procesos de generación-degradación de ¹⁴C se encuentran prácticamente equilibrados, de manera que el isótopo se encuentra homogéneamente mezclado con los átomos no radiactivos en el dióxido de carbono de la atmósfera. El proceso de fotosíntesis incorpora el átomo radiactivo en las plantas de manera que la proporción ¹⁴C / ¹²C en éstas es similar a la atmosférica. Los animales incorporan, por ingestión, el carbono de las plantas. Tras la muerte del organismo vivo no se incorporan nuevos átomos de ¹⁴C a los tejidos y la concentración del isótopo va decreciendo conforme va transformándose en ¹⁴N. La vida media del ¹⁴C es de 5730 años. Cada 5730 años la cantidad de ¹⁴C en el organismo (ahora muerto) se reduce a la mitad (se trata de resolver una sencilla ecuación diferencial, y´(t) = k y(t), de primer orden en variables separadas). De este modo puede ser datado el momento de la muerte de dicho organismo. Se conoce por edad radiocarbónica y se expresa en años BP (Before Present). Esta escala equivale a los años transcurridos desde la muerte del ejemplar hasta el año 1950 de nuestro calendario, fecha elegida por convenio por ser en la segunda mitad del siglo XX cuando los ensayos nucleares (la política y la guerra siempre jo…, perdón, fastidiándolo todo) provocaron severas anomalías en las curvas de concentración relativa de los isótopos radiactivos en la atmósfera.

Al comparar las concentraciones teóricas de ¹⁴C con las de muestras de maderas de edades conocidas se descubrió que existían diferencias con los resultados esperados. Esas diferencias se deben a que la concentración de carbono radiactivo en la atmósfera también ha variado respecto al tiempo. Hoy se conoce con precisión la evolución de la concentración de ¹⁴C en los últimos 25000 años, por lo que puede corregirse esa estimación de edad comparándolo con curvas obtenidas mediante interpolación de datos conocidos. La edad así hallada se denomina edad calibrada y se expresa en años Cal BP.

Otro concepto que Charlie menciona en este capítulo a propósito de los restaurantes de comida rápida es el de los diagramas de Voronoi. Estos diagramas se basan en la representación de información mediante estructuras poligonales. Éstas aportan mayor información que las rectangulares ya que podemos observar de un vistazo conexiones entre más elementos. Pongamos un ejemplo. En algunas tiendas que reparten a domicilio se describe mediante un mapa las zonas de la ciudad a las que esa tienda suministra sus productos. Si se trata de una cadena de tiendas aparecen también las zonas de las que se encargan el resto de las “sucursales”. Esos mapas pueden describirse mediante un diagrama de Voronoi en el que se representan con diferentes colores las zonas de influencia (de reparto) de cada una de las tiendas. En el dibujo, un ejemplo de este tipo de diagramas, en el que los puntos son el lugar donde se encuentra la tienda y cada zona poligonal convexa, sus áreas de influencia. Construir un diagrama de este tipo con 3 o 4 zonas de influencia tiene su interés. Para determinar los bordes de cada región es preciso obtener la mediatriz de cada segmento. Otro ejemplo, más atrayente seguramente para los alumnos, es la descripción de la defensa en zona de un equipo de baloncesto (o sea cómo hacer el reparto para cada jugador de una zona del campo). Aquí puede verse esta actividad (en inglés). Por supuesto que los diagramas de Voronoi se aplican a otros campos científicos como la arqueología, la astronomía, la biología o el marketing.

Hay un modo de dividir el mapa en triángulos que está relacionado con los diagramas de Voronoi: la triangulación de Delaunay. De hecho, es el dual geométrico de los diagramas de Voronoi. Tal y como nos enseñaron en la escuela, para cualquier triángulo puede construirse un único círculo que pasa por los tres vértices (el círculo circunscrito). Su centro se denomina circuncentro y es la intersección de las tres mediatrices del triángulo (en la literatura anglosajona las mediatrices se denominan bisectores perpendiculares). Esta triangulación/teselación se caracteriza por la propiedad de que para cada triángulo, su círculo circunscrito no tiene que contener ningún otro vértice del resto de triángulos. Parece complicado pero no lo es; de hecho hay varios algoritmos programables para que los ordenadores nos hagan el trabajo sucio.

Una de las aplicaciones de la triangulación de Delaunay es la interpolación de datos. Por poner un ejemplo asequible, supongamos que medimos la profundidad de un lago en diferentes puntos. Si éstos están uniformemente espaciados en filas y columnas, podemos dibujar un mapa del fondo del lago con cierta precisión. Sin embargo es bastante improbable que desde una barca se puedan obtener las medidas donde uno desea. Así que se toman medidas donde se puede que posteriormente se interpolan. Un procedimiento es tomar las mediciones como puntos base y construir una triangulación de Delaunay. Luego se superpone una malla uniforme. Cada punto de esa malla aparece en alguno de los triángulos de Delaunay y de nuevo interpolando los valores que quedan dentro de los triángulos calculamos los valores de los vértices de la malla que nos interesan (se dan diferentes pesos a los valores dependiendo de la distancia a los vértices). Resulta bastante instructivo para alumnos de Bachillerato proponer unas actividades sencillas (simplificadas) tanto sobre los diagramas de Voronoi como de Triangulación de Delaunay, ya que pueden constatar que conceptos como circuncentro, mediatriz, pendiente, etc., no son conceptos exclusivamente abstractos y por tanto ociosos, sino aplicables y mucho a problemas reales.

2.12.- El pirómano (Scorched) (18 – 12 - 2006)

Argumento: Un pirómano que cree formar parte de un grupo terrorista extremista provoca un incendio en un coche mediante un cóctel Molotov, muriendo un hombre. El nombre del supuesto grupo aparece en el lugar pintado con un spray y es el cuarto que sucede, aunque el primero que causa víctimas.

Aspectos Matemáticos: Gráficas en tres dimensiones, sistemas dinámicos.

En el análisis de las causas que pueden haber provocado un incendio se estudian diferentes elementos, como restos de objetos quemados o de gasolina u otros productos inflamables que puedan determinar si ha sido casual o provocado. Charlie afirma analizar un total de 600 variables diferentes para resolver la cuestión. A partir de este número de características se obtienen sin embargo un número mucho mayor de posibilidades (si se considera por ejemplo la variable “rastros de gasolina”, dando el valor 0 si no los hay y el valor 1 si se encuentran, se tienen dos posibilidades distintas. Con dos variables obtenemos cuatro respuestas posibles. Con 600, tantas como 2⁶⁰⁰). Charlie está convencido de que los cinco incendios que han tenido lugar son obra de la misma persona. Trata entonces de encontrar características comunes en ellos, algo así como las huellas pirománticas del incendiario. Para ello, trata de interpolar diferentes datos recogidos en los lugares donde se han cometido, con un procedimiento que los guionistas han llamado algo así como Análisis de los Componentes Principales (PCA). En realidad se trata de encontrar el plano que mejor se ajuste a los datos que ha ido recogiendo (una especie de ajuste pero en tres dimensiones). En este enlace se describe el procedimiento (basado en conceptos de álgebra lineal).

Por otra parte la evolución de un incendio puede ser estudiada como un proceso dinámico. El problema es que modelizar un fuego incluye considerar muchas variables (humedad, velocidad del viento, dirección del viento, densidad del combustible, temperatura inicial, etc.). Una modelización de la evolución de un incendio en un bosque en el que podemos introducir algunos parámetros puede verse aquí (está en inglés, pero es muy sencillo).

2.13.- Bandas Callejeras (The O.G.)  (25 – 12 – 2006)

Argumento: Don y su equipo necesitan atrapar a un hombre llamado Travis Grant que parece ser la última persona que ha visto vivo a su compañero el agente Rhimes. Rhimes estaba infiltrado en una banda a la que pertenece Grant. Al parecer Rhimes no llegó a ser descubierto por nadie de la banda por lo que no está claro el motivo de su muerte. Entretanto, Charlie y Amita (recuerden: la alumna a la que dirige la tesis) se enfrentan con el departamento de Geología en un torneo de dardos.

NOTA: Las siglas O.G. del título original son el acrónimo de Original Gangota, término que designa a ciertas bandas juveniles callejeras. La canción de hip-hop Remember the Name, interpretada por el grupo rapero Fort T que presenta el capítulo es una referencia que trata de situar al espectador en este ambiente.

Aspectos Matemáticos: Distribución de Poisson, Análisis de redes.

En esta ocasión, El FBI investiga una serie de asesinatos realizados por bandas callejeras. Basándose en cómo se relacionan los miembros de las bandas, Charlie crea una red que modelice esas informaciones. A través de esa red espera averiguar quien será la próxima víctima. El análisis de redes es una aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales. Para analizar matemáticamente una red, estudiamos los distintos nodos que aparecen en la misma y tenemos en cuenta que el flujo que entra en cada uno tiene que ser igual al flujo que sale. A partir de ahí, planteamos un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, el gráfico adjunto podría representar el flujo de tráfico en una ciudad, o la cantidad de agua que pasa por una tubería (los nodos serían plazas en un caso o uniones de tuberías en el otro) con valores constantes en algunos de los bordes (medidos según el caso en litros por segundo, o miles de litros por hora, o número de coches por hora). Los distintos hilos (o bordes) serán las calles de la ciudad en el caso del flujo de tráfico, o las canalizaciones de agua. Debajo, en la tabla, tendríamos la descripción de cómo se obtiene el sistema de ecuaciones lineales.

Resolviendo el sistema obtenemos infinitas soluciones (x₁ = 20 λ, x₂ = 60 λ, x₃ = 20 λ, x₄ = 20 + λ, x₅ = λ). Variando el flujo que se hace pasar por el hilo x₅ podemos controlar y ver como varía el flujo en el resto de hilos y nodos de la red. Estos modelos son bastante útiles en la realidad. En el caso de una red de comportamiento social como la que plantea Charlie, los nodos (o vértices) serían los individuos de la banda, y los hilos mostrarían cómo la información llega de uno a otro miembro del grupo. De un esquema como el anterior es posible obtener la matriz del camino más corto que ilustraría el menor número de enlaces entre dos nodos cualesquiera. De este modo podemos conocer el tipo de rol que cada miembro de la banda desempeña en la misma. Se pueden definir muchos más conceptos sobre una red que no detallamos por no extendernos demasiado.

Por otra parte se alude a la distribución de Poisson para calcular la probabilidad de que ocurran unos sucesos en un tiempo fijo conocida una tasa media de los mismos y siendo independientes del tiempo. Por ejemplo, supongamos que en cierto aparcamiento una persona es robada de media cada dos días. La policía utilizaría ese dato para estimar la probabilidad de que una persona cualquiera sea robada en ese parking en un día concreto, o en el periodo de tres semanas. Matemáticamente, la probabilidad de que un determinado suceso ocurra exactamente k veces viene dada por

donde m es el número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si  el 2 % de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas, tendríamos, k = 5, m = 400 (0.02) = 8, luego p(5, 8) = 0.092. La distribución fue descubierta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840) que la publicó, junto con su teoría de probabilidad, en 1838.

A todo esto,  ¡¡¡¡¡FELICES FIESTAS A TODOS !!!!!