El año pasado realizamos unos juegos de adivinación relacionados con el teorema chino del resto y propusimos el problema de resolverlos matemáticamente.

Algunos de nuestros lectores nos han ofrecido sus respuestas y, como agradecimiento, las vamos a reproducir aquí.

El primer problema, planteado por el propio Sun Tsu, es el siguiente:

Tengo un conjunto de objetos. Cuando los cuento de tres en tres, me sobran dos; cuando los cuento de cinco en cinco, me sobran tres; cuando los cuento de siete en siete, me sobran dos. ¿Cuántos objetos poseo?

Solución:

La primera condición establece que, si tengo x objetos, x – 2 es múltiplo de 3; la tercera condición afirma también que x – 2 es múltiplo de 7. Por tanto, x – 2 es múltiplo de 21.

Por otra parte, de la segunda condición deducimos que x – 3 es múltiplo de 5. El número más pequeño que cumple ambas condiciones es precisamente x = 23.

El segundo problema, planteado como juego de adivinación, se puede enunciar como sigue:

Sea N un número entre 1 y 1000 y a, b, c los restos de la división de N por 7, 11 y 13, respectivamente. Hallar el valor de N.

Solución:

El número pensado es el resto de la división de 715a + 364b + 924c por 1001. ¿De dónde han salido estos números?

"715" es precisamente el mínimo múltiplo de "11 x 13" que es una unidad mayor que alguno de los múltiplos de 7; "364" es el mínimo múltiplo de "7 x 13" que es una unidad mayor que alguno de los múltiplos de 11; "924" es el mínimo múltiplo de "7 x 11" que es una unidad mayor que alguno de los múltiplos de 13; por último, "1001" es precisamente el producto "7 x 11 x 13" (lo que justifica además el segundo de los trucos).

Una solución más detallada la ofrece el ganador de nuestro concurso, Miguel Herraiz Hidalgo. Transcribimos aquí su explicación.

Caso Particular

Escojamos un número cualquiera. En mi caso, elegí el 821.

821 ≡ 2 (mod 7)

821 ≡ 7 (mod 11)

821 ≡ 2 (mod 13)

¿Cómo se puede adivinar el número elegido?

En el primer caso nos olvidamos del 7, y consideramos el producto de los otros dos divisores: 11·13 = 143.

143 ≡ 3 (mod 7)

Ahora buscamos un número que multiplicado por este 3, sea congruente con 1 módulo 7. En este caso el 5.

Nos quedaremos con el producto de este 5 y el primer 2 que obtuvimos para el divisor 7, y lo multiplicamos por el 143.

2·5·143 = 1430

Acordaos de este número.

Hacemos lo mismo para el 11. Nos olvidamos de él, y calculamos el producto de los otros dos: 7·13 = 91.

91 ≡ 3 (mod 11)

Buscamos un número que multiplicado por 3 sea congruente con 1 módulo 11. El 4. Y así obtenemos el siguiente producto:

7·4·91 = 2548

Repetimos la operación con el 13.

Calculamos cuánto es 7·11, y comprobamos su congruencia módulo 13.

77 ≡ 12 (mod 13)

Además 12 también es el número que buscamos para:

12·12 = 144 ≡ 1 (mod 13)

Obtenemos el último producto:

2·12·77 = 1848

Para terminar, sumamos los tres resultados. Como el número que buscamos está entre 0 y 1000, tendremos que hallar su congruencia módulo 7·11·13, es decir, módulo 1001.

1430 + 2548 + 1848 = 5826

5826 ≡ 821 (mod 1001)

Caso General

Para un número N cualquiera, hallamos los restos a, b, y c, módulo 7, 11 y 13, respectivamente.

N ≡ a (mod 7)

N ≡ b (mod 11)

N ≡ c (mod 13)

En el primer caso, el producto que obtendremos será:

a·5·143 = 715·a

En el segundo caso:

b·4·91 = 364·b

Y por último:

c·12·77 = 924·c

Sumamos estos tres resultamos, y hallamos su congruencia módulo 1001.

715 a + 364 b + 924 c ≡ N (mod 1001)

Otro concursante, Alberto Castaño Domínguez, también afirma conocer la solución pero no la detalla en su respuesta.

El último problema, ya clásico, se enuncia como sigue:

Escribe en una calculadora un número de tres cifras ABC y, a continuación, el mismo número. Tienes así un número de seis cifras ABCABC.

Divídelo por 7 y no me digas el resto. Sé que es cero.

Divide el resultado por 11 y ¡sorpresa! también la división es exacta.

Divide el resultado por 13 y ¡por increíble que parezca! también el resto es cero.

¡Sorpresa final! El cociente obtenido es el número que habías pensado inicialmente.

Soluciones recibidas:

(1) Fernando Yagüe.

La solucion del problema es por que si multiplicamos 7*11*13=1001 y si multiplicas un numero ABC por 1001 = ABCABC

(2) Daniel Garrido Sánchez e Inmanor García Retortillo. I.E.S. Gabriel y Galán de Montehermoso (Cáceres).

El número ABCABC=ABC*7*11*13 = ABC*1001 por lo tanto el número es divisible por 7, el cociente por 11 y el cociente por 13.

(3) Alberto Castaño Domínguez.

El segundo es resultado de que 7 por 11 por 13 es 1001, luego cualquier número de la forma ABCABC es ABC por 1001, es decir, ABC por 7 por 11 por 13, luego al dividirlo entre 7, 11 o 13 obtenemos resto nulo, y al final conseguimos el número ABC sin repetir.

(4) Miguel Herraiz Hidalgo.

ABCABC = 1001·ABC dando la "casualidad" de que 7·11·13 = 1001 de ahí que el resto entre 7, 11 y 13 sea siempre 0, y que el cociente final sea ABC.

Como es habitual, el ganador del concurso recibirá un obsequio por parte de Divulgamat. Agradecemos nuevamente a todos los concursantes su participación y animamos a todos los lectores a que participen la próxima vez.