Recuerdo en primer lugar el problema planteado el mes pasado:
¿Se puede saber cuál es la disposición final de las cartas, es decir cuántos montones
habrá y cuántas cartas tendrá cada montón? ¿Podrías deducir una situación más general, es decir saber la disposición
final en el caso que se utilice una cantidad distinta de cartas?
Transcribo a continuación la solución ofrecida por nuestro seguidor Alberto Castaño, a quien agradecemos su participación y quien ha sido merecedor de un regalo por parte de la redacción de Divulgamat.
Estudio del caso general:
Llamemos redistribución al proceso de coger una carta de cada montón y formar uno nuevo con ellas.
Si se experimenta un poco, se ve que con algunos números se llega siempre a una posición estable y con
otros se llega a un ciclo de algunas.
Pues bien, veamos que se llega a una posición estable si y sólo si el número N, se puede expresar como suma de
naturales consecutivos, es decir, como en nuestro caso, N=10=1+2+3+4:
Supongamos que estamos en una posición estable y tenemos k montones ordenados por número de cartas
m1, m2,..., mk. Al redistribuir las cartas, nos quedamos con los montones
del modo m1-1, m2-1,..., mk-1,
y otro más con k cartas. Como m1-1 era el que menos tenía y ahora sigue habiendo otro con el mismo
número de cartas,
necesariamente m1-1=0, luego m1 tenía una sola carta. El siguiente era m2,
por lo que m2-1=1 y m2=2. Razonando
así con los demás, llegamos a que el montón mj tenía j cartas exactamente, con j=1,...,k. Por lo que N=1+2+...+k.
Ahora bien, si el número es de esa forma, podemos formar k montones mj, cada uno con j cartas, y ya
hemos visto que ésa es una posición estable.
Entonces, si N no es suma de naturales consecutivos, no, digamos, convergerá. Como sólo hay un número
finito de posiciones (repartos en montones), si a base de repetir la redistribución pasamos por todas las
combinaciones posibles, deberá repetir alguna, entrando en un ciclo. Normalmente, ese ciclo tendrá menos posiciones
distintas que todas las posibles, aunque en algún caso particular se alcance; por ejemplo, si N=3, el ciclo es 1,1,1 - 3 - 1,2.
Por último, antes de centrarnos en el caso N=10, cabe señalar qué pasaría si en lugar de una carta, quitáramos más de
una de cada montón. Entonces, sólo podemos dividir N en montones con una cantidad múltiplo del número de cartas que
quitemos, y el caso se reduce a estudiar qué pasaría si hacemos la redistribución normal cuando N es igual al anterior número
de cartas dividido por cuantas se quitan de cada montón.
Ahora ya sabemos que en nuestro caso particular, N=10, siempre llegamos a la posición de estabilidad 1,2,3,4, pero,
¿en cuántas redistribuciones? Haciendo un estudio de todos los casos posibles podemos ver que sólo se necesitan doce, en los siguientes casos:
1,1,2,3,3 - 1,2,2,5 - 1,1,4,4 - 3,3,4 - 2,2,3,3 - 1,1,2,2,4 - 1,1,3,5 - 2,4,4 - 1,3,3,3 - 2,2,2,4 - 1,1,1,3,4 - 2,3,5 - 1,2,3,4
1,2,2,2,3 - 1,1,1,2,5 - 1,4,5 - 3,3,4 y sigue como el anterior
1,1,1,2,2,3 - 1,1,2,6 - 1,4,5 y como el anterior
Con todas las demás posiciones, el número de redistribuciones necesario es menor.
Pedro Alegría
(Universidad del País Vasco)