Leonhard Euler nació en Basilea el 15 de abril de 1707, su padre Paulus Euler, pastor calvinista, quería que Leonhard, siguiera sus pasos en los estudios teológicos, así que lo inscribió en la universidad de Basilea para cursar estudios de teología, humanidades clásicas y lenguas orientales, pero la vocación de Euler se enfocaba hacia las matemáticas. Tanto que consiguió recibir unas clases particulares especiales del propio Johann Bernoulli, quien reconoció desde el principio el talento del joven Euler y debió mediar ante su padre para que estudiase una carrera de carácter científico en lugar de teología.

El propio Euler lo cuenta en su autobiografía:
“Pronto tuve la oportunidad de ser presentado al famoso profesor Johann Bernoulli. Estaba realmente muy ocupado, y así rehusó de plano darme lecciones particulares, pero me dio en cambio consejos mucho más valiosos para comenzar a leer por mi propia cuenta libros de matemáticas más difíciles y estudiarlos con toda la diligencia que pudiera. Si me encontraba con algún obstáculo o dificultad tenía permiso para visitarle con plena libertad todos los sábados por la tarde...”

Así Euler acabó estudiando medicina, astronomía y filosofía natural.
Comenzó a publicar con tan solo 19 años; su primera memoria Constructio lincarum isochronarum in medio quocunque resistente impresionó a Johann Bernoulli. Quizás animado por él, Euler, que no había visto un barco de vela en su vida, presentó a la Academia de París, con tan solo veinte años, una memoria sobre la distribución óptima de mástiles y velas en los barcos. En estos escritos ya se vislumbra  la manera  original y creativa, que tenía Euler,  para  resolver  cuestiones y problemas científicos.
En esta ocasión no obtuvo el premio que concedía la Academia, tan sólo una mención honorífica. Pero la Academia acabaría rendida a los méritos de Leonhard concediéndole hasta doce premios a lo largo de su vida. En 1727, recién cumplidos los 20, Euler opta a la cátedra de filosofía natural de la universidad de Basilea, con un trabajo sobre el sonido, Dissertatio physica de sono, pero es rechazado por su juventud.

1727-1740. Primera estancia en la Academia de Ciencias de San  Petersburgo

Tras este fracaso Euler acepta la invitación para trabajar en la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde ya se encontraban los hermanos Nicolás y Daniel Bernoulli, los hijos de Johann, ocupando una plaza en la sección de fisiología y medicina. Esta importante institución había sido fundada en el año 1725 por Catalina. Era una Academia aún joven pero de mucha proyección científica por la categoría de sus miembros.

Justo el día en que Euler llega a San Petersburgo, el 27 de mayo de 1727, muere Catalina la Grande, la protectora de la Academia. Su sucesor, Pedro II, no compartía esta vocación de mecenas de las ciencias y Euler para sobrevivir tuvo que enrolarse en la marina rusa en la que durante tres años ocupo el grado de teniente de navío.

Por suerte para la ciencia Pedro II duró poco en el trono y en 1730 sucediéndole su hija Ana que relanzará la Academia. Gracias a este hecho, en 1730, Euler ocupará la cátedra de filosofía natural y en 1733 sucederá en la cátedra de matemáticas a su amigo Daniel, que había abandonado Rusia para hacerse cargo de la cátedra de matemáticas en la Universidad de Basilea. Ese mismo año Leonhard se casó con Catherine Gsell, hija del pintor sueco G. Gsell, que en ese momento dirigía la Academia de Pintura de San Petersburgo. Este matrimonio tuvo 13 hijos, cinco de los cuales murieron siendo aún niños.

La pluma de Euler durante los 14 años que va a durar su primera estancia en San Petersburgo no va a tener ni un día de descanso. En esos años publicará más de 100 memorias y artículos sobre los temas más diversos, (la gran mayoría de los artículos de los Comentarii de la Academia corresponden a Euler).

Sus resultados durante esta primera estancia en la Academia de Ciencias fueron espectaculares; mostremos aquí algunos de ellos:

• Con el fín de resolver problemas de series, definió en 1729 la función gamma   con s>0 y demostró algunas de sus propiedades Γ(s+1) = s·Γ(s); Γ(n+1) = n! ∀n∈N.
• Un año más tarde, en 1730, introdujo la función beta, para s,t>0, probando la relación entre las funciones gamma y beta, .
• En 1735 la Academia de París, propuso un problema relacionado con la rotación del Sol, Euler se concentró de tal manera en solucionarlo que debido al enorme esfuerzo ocular, pues requería de muchas observaciones, perdió la visión de su ojo derecho.
• El año 1736 publicó la primera de las varias pruebas que dio del Pequeño Teorema de Fermat. Si p > 0 es primo, entonces p divide a a^p – a. De este resultado dará a lo largo de su vida otras dos demostraciones, la última en 1768.
• En 1737 demostró la infinitud de los números primos por un procedimiento muy original y que a la postre dio origen a la Teoría Analítica de Números.
• Ese mismo año también dio una prueba de la irracionalidad del número e, utilizando fracciones continuas, y dos años más tarde, en 1739, demostró la irracionalidad del cuadrado del número e.
• El número e siempre ejerció  en Euler una especial fascinación. Lo calculó por varios procedimientos, hallando del mismo hasta 23 cifras significativas. Su valor es  e =2,718 281 828 459 045 235 360 28…
• El número π es investigado y obtenido, por  Euler en muchos periodos de su vida, utilizando diversos métodos para aproximarle, entre otros el obtenido aplicando el teorema de la adición a la función arctag.
• Resolvió también problemas populares como el famoso de los Siete puentes de Könisberg, recogido en su artículo Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis.
•  A lo largo de estos años se preocupa por solucionar diversos problemas relacionados con la teoría clásica de números, muchos de ellos planteados por. Fermat y otros provenientes de  su relación con su amigo Goldbach. Así descubrió que el quinto primo de Fermat: , no era un número primo, en contra de lo afirmado para todos estos números por el matemático francés. Aunque la descomposición no es nada simple, sobre todo si no se cuenta con las poderosas herramientas de cálculo actuales: F₅ = 4.294.967.297 = 641 · 6700417
• Entre los años 1732 y 1736 estudia productos infinitos y problemas de isoperímetros.
• Poco antes de abandonar San Petersburgo, en 1739, le escribe una nota a Johann Bernouilli en la que le comunica como las ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes se pueden resolver mediante la resolución de su ecuación característica asociada.

De esta época es también su primera obra cumbre: la Mechanica (1736), dos tomos con más de 1000 páginas, la primera obra en que la mecánica parece tratada de forma analítica y con los términos actuales.

En la década entre 1730 y 1740 se enfrenta a su gran pasión: la suma de series numéricas llamativas. Aplicando técnicas, hoy criticables en cuanto al rigor, pero llenas de originalidad y valentía adornadas con una buena dosis de ingenio y habilidad para combinar resultados de ramas en apariencia muy distantes de las matemáticas, como análisis y aritmética, Euler consigue resultados espectaculares como estos:

O de las diferencias alternadas de otras potencias

Pero sin duda la joya de la corona de sus cálculos de series, es la respuesta al gran problema planteado varios años antes por Jakob Bernoulli, el que se dio en llamar el problema de Basilea, que no es otro que calcular la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales:

Euler había conseguido aproximaciones calculando hasta los mil primeros términos:

En 1735, con su genial manera de relacionar técnicas y resultados de campos matemáticos distantes va a encontrar el resultado:

“Sin embargo, he encontrado ahora y contra todo pronóstico una expresión elegante para la suma de la serie , que depende de la cuadratura del círculo ( Es decir, de π). He encontrado que seis veces la suma de esta serie es igual al cuadrado de la longitud de la circunferencia de un círculo de diámetro 1”.

Y en efecto, la suma de la serie es:

Todos estos resultados los incorporará al capítulo X del tomo primero de la Introductio in analysin infinitorum (Edición facsimil y comentada de la SAEM Thales y la RSME. Sevilla 2000).