1741-1766. Estancia en la Academia de Ciencias de Berlín

A finales de 1740, tras la muerte de la zarina Ana, a Euler se le vuelve a plantear la misma situación de incertidumbre sobre su futuro que trece años antes, pero ahora tiene una familia que mantener y sobre todo un prestigio enorme en toda Europa. Por esta razón Euler decidió aceptar una invitación, que años antes le había realizado el rey  Federico II el Grande de Prusia, para incorporarse a la Academia de  Ciencias de Berlín, fundada por Leibniz en 1700.

A raíz la entronización de Federico II, en 1740,  el monarca se  esforzó por impulsar y renovar la Academia, que hasta entonces había tenído una actividad muy reducida, nombrando, en  1741 al científico francés Maupertuis como presidente y contratando a personas de gran prestigio, como es el caso de Euler. 

Cuando Euler llegó a Berlín, el año 1741, encontró al reino  prusiano sumido en la  primera guerra de Silesia y con una actividad científica prácticamente inexistente. Como consecuencia no le fue posible ocupar su cátedra en la Academia, debido a que  en ese momento estaba pasando por la peor crisis económica desde su fundación. Para ganarse la vida  Euler se ocupó en dar clases a miembros de familias nobles, entre las que destaca las impartidas a la princesa Filippina von Schwendt, pariente del rey de Prusia; durante años le dio lecciones y al ser interrumpidas, Euler las completó por escrito, naciendo de esta forma sus famosas Lettres a une princese d’Allemagne (Las cartas a una princesa sobre diversos temas de Física y de Filosofía¹), obra que es considerada como la primera obra divulgativa de física que se haya elaborado. Está compuesta por tres tomos publicados en Rusia, el primero en 1768 y el último en 1772.

En 1744,  Federico II crea la  nueva Academia de Ciencias y Letras de Berlín y a ella fue invitado Euler como responsable de las actividades matemáticas y Maurpetius como presidente. Debido a las continuas ausencias de Maupertuis era Euler el que dirigía la Academia. De hecho, el monarca le encomendó trabajos de una cierta importancia como:  la nivelación del canal Finow, instalaciones de juegos de agua, la dirección de una mina de sal, diversas cuestiones financieras, como la creación de montepíos de viudedad y juegos de lotería, etc.  Para realizar estas acciones Euler disponía de una partida ecónomica importante, pero curiosamente, para investigar cuestiones matemáticas no recibíría ninguna ayuda económica sustancial. La razón estribaba en el hecho de que el monarca Federico  se sentía más a gusto los filósofos, como el caso de Voltaire, que con los geómetras. Para Fedrerico II, Euler era una filósofo anodino, incapaz de dar gracejo y prestancia a los salones cortesanos. Algunos contemporáneos narran que cuando  el monarca se refería a Euler, le llamaba, de manera despectiva "el cíclope matemático" ( en ese momento Euler veía únicamente a través de un sólo ojo). Así las relaciones con el monarca debieron ser muy difíles y en algunos momentos insoportables. 

En Berlín continuará con su gran afición a la astronomía. Buena prueba es la publicación en 1747 de  una memoria titulada Recherches sur le mouvement des corps celestes en general, deduciendo a partir de la segunda ley de la dinámica y de la ley de gravitación universal la primera ley de Kepler y la obtención del premio de la Academia de París en 1748 por un trabajo sobre las perturbaciones del movimiento de Júpiter y Saturno.

Durante el cuarto de siglo que duró su estancia en Berlín, Euler continuó con su producción febril, seguió mandando regularmente artículos para los Comentarii, la revista de la Academia de San Petersburgo de la que continuó siendo editor, envió en total más de 100, casi tantos como los que publicará en las Memorias de la Academia de Berlín – 127 -; investigó sobre todos los temas matemáticos del momento y publicó cientos de memorias y de artículos, pero de este época, de su primera década en Berlín, data uno de los mejores regalos del genio de Basilea a la historia de las matemáticas, su Introductio in analysin infinitorum, (1748), el nacimiento oficial de las funciones, uno de los libros de matemáticas más influyentes de todos los tiempos.

Cuatro años antes, en 1744, había publicado su primera visión del cálculo de variaciones, Methodus inveniendi lineas curvas... , y la Theoria motuum planetarum y cometarum. Dos años más tarde su Teoría sobre la luz y el color. Su ritmo de producción se  mantiene a un nivel inusitado.

Durante la década de los 50 hasta el final de su estancia berlinesa ven la luz al menos otra veintena de obras cumbres en sus respectivos campos. No podemos citar todas aquí pero destacaremos alguna: su segunda mecánica, Theoria motus corporum solidorum (1765)..., Recherches sur la la courvature des surfaces (1760), Institutiones calculi differentialis (1755) y aunque menos extensa, no la de menor repercusión posterior, su obra clásica sobre los logaritmos de números negativos e imaginarios De la controverse entre Mrs. Leibnitz et Bernoulli sur les logaritmes de nombres negatifes e imaginaires (1751), donde deja despejado el camino para justificar la existencia y el cálculo de logaritmos naturales de números imaginarios, utilizando la sorprendente  expresión que, desde entonces lleva su nombre, la identidad de Euler:
Para cualquier x real, e^ix = cos x + i sen x

Según Euler, las propiedades de los logaritmos se mantienen para los números negativos, en contra de la opinión de Leibniz, es decir:
ln(-x) = ln[x·(-1)] = lnx + ln(-1)

La clave estaba en la constante ln(-1). Para Bernoulli esta constante valía cero. Pero Euler tenía la llave desde la Introductio. Haciendo en su identidad  x = π , obtiene e^iπ = cos π + i sen π y, por tanto, ln (-1) = i π

Es decir, ln(-x) = lnx + ln(-1) = lnx + i π

Para sorpresa de todos, los logaritmos de los números negativos no sólo existen sino que además son números imaginarios.

En el caso de los logaritmos de los números imaginarios la solución es más sorprendente, no sólo existe el logaritmo de un complejo a+bi, sino que hay infinitos logaritmos. Si c es el módulo del complejo y π su argumento, Euler afirmó que ln(a+bi) = lnc + i(θ ± 2kπ) para k = 0, 1, 2, ....

Habían nacido para la historia de las matemáticas los logaritmos complejos. Y de paso había dotado de carta de identidad definitiva a los números complejos, explicando cómo operar con ellos, cómo calcular sus raíces, sus potencias, sus logaritmos, sus senos y cosenos.
No deja de ser un nota reveladora del carácter de Euler la carta dirigida a Golbach en la que eufórico le comunica su cálculo de z = iⁱ

Tomando logaritmos:

Así que
¡¡Infinitos valores reales diferentes!!. Para k = 0:

“¡Lo que me parece extraordinario!”, afirmaba Euler en su carta. Y no es para menos.

Durante su estancia en Berlín se dedica, al igual que en San Petersburgo, a resolver problemas relativos a la geometría elemental. Entre los variados resultados obtenidos destacamos la obtención de una demostración sintética de la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo en función de sus lados; la demostración de que en cualquier triángulo, el ortocentro, el baricentro y el circuncentro están siempre alineados, llamándose a esa recta la recta de Euler(1767), la obtención del círculo de Euler, propiedades de paralelogramos… y otros problemas que tienen que ver con la combinatoria y la geometría. Hemos dejado para el final su gran hallazgo, obtenido en 1750 y dice así:

si un poliedro es tal que su superficie puede ser deformada con continuidad hasta transformarse en la superficie de una esfera, entonces se verifica que: C+V=A+2

Siendo   C= Número de caras del poliedro,  V= Número de vértices del poliedro, A= Número de aristas del poliedro.