1766-1783. Segunda estancia en la Academia de Ciencias de San Petersburgo

El carácter discreto, retraído y familiar de Euler no le hacía encajar bien en la corte de Federico II, un monarca engreído y pedante, amante de fastos y boatos, justo lo contrario de Euler. Así que en el verano de 1766 decide volver a San Petersburgo con cuya Academia había estado profundamente vinculado durante toda su estancia berlinesa.

El trato que le dispensó Catalina II de Rusia fue todo lo contrario. Dispuso para él y su familia, 18 miembros en total, una enorme mansión y puso a su disposición a su mejor cocinero. Esto debió consolarle del golpe que debió suponer la pérdida de todos sus objetos personales y numerosos escritos sin publicar que se perdieron en el naufragio del barco que los transportaba desde Alemania. Para colmo una catarata en el ojo izquierdo comenzó a hacerle perder progresivamente la visión de su ojo sano. Su casa, junto a otras 500, fue víctima de un incendio que casi siega su vida y en el que volvió a perder una buena parte de sus manuscritos, entre ellos su memoria sobre la Luna. En 1776, viejo y casi ciego  pierde a su esposa, aunque al año siguiente se casa con su cuñada. A pesar de todos estos percances vitales Euler continuó con su producción febril. En esta etapa publicó más de 350 trabajos, muchos de ellos sobre su gran afición: la teoría de números en la que nos ha dejado magníficos resultados sobre números perfectos (el teorema de Euclides-Euler), sobre números amigos (sus famosas 62 parejas que al final fueron sólo 60), sobre números primos...

En 1768 apareció su Aritmética Universal. En ella se analizan un sin fin de resultados elementales de forma muy didáctica: se generalizan las reglas de resolución de problemas aritméticos; se desarrolla el aparato simbólico-literal del álgebra; se aclaran las operaciones con números, monomios, radicales y complejos; se introducen los logaritmos; se dan las reglas de extracción de las raíces de números y de expresiones algebraicas polinomiales; se introducen las series como medio de expresión de las funciones racionales fraccionarias; se introducen los números poligonales, las proporciones y progresiones, las fracciones decimales periódicas y se estudian los métodos de resolución de ecuaciones algebraicas.
Entre 1768 y 1770 verán la luz los tres tomos de las Instituciones calculi integralis, donde presenta su visión analítica del cálculo de variaciones,  entre 1769 y 1771 los tres tomos de la Dioptrica, que convertiría a Euler en el precursor de los fenómenos de interferencia y difracción de la luz, aspectos que fueron definitivamente  resueltos por el científico A. Fresnel(1788-1827),  y en 1774 su segunda Scientia navalis menos teórica y mucho más práctica que la publicada en 1749.

Ya totalmente ciego publica en 1770 su Introducción al Álgebra dictándole sus cálculos a su ayudante Peter Grimm, que no tenía una formación matemática especial. Las correcciones las realizaba su hijo Johann Albercht. La obra consta de dos volúmenes, el primero de los tomos trata de sentar las bases del álgebra, mientras que el segundo está destinado al análisis diofántico. Su estilo didáctico ha constituido un modelo desde entonces. Tras la edición de este libro, Euler descubre la necesidad de contar con un secretario con una formación matemática sólida y pide a Daniel Bernoulli que le envíe uno de sus alumnos más aventajados, Así es como Nicolás Fuss, un estudiante de la universidad de Basilea tendrá la fortuna de compartir día a día los últimos diez años de creación matemática del genio.

A lo largo de toda su vida y en todas sus obras, Euler se manifiesta con un estilo claro, llano y sencillo, alejado de la pedantería que rodea muchas publicaciones científicas; porque Euler fue  también un maestro y un divulgador fabuloso. Condorcet lo expresa de manera precisa:

“Cuando publicaba una memoria sobre un asunto nuevo, exponía con sencillez el camino que había recorrido, haciendo observar sus dificultades y vericuetos, y tras hacer seguir al lector la marcha de su espíritu durante los primeros ensayos, les enseñaba cómo había conseguido encontrar el camino más fácil, lo que demuestra que prefería la instrucción de sus discípulos a la satisfacción que pudiera producirle su asombro, y creía no hacer bastante por la ciencia si no agregaba a las verdades nuevas con que la enriquecía, la sincera exposición de las ideas que le habían conducido a su descubrimiento”

Gracias a Nicolás Fuss conocemos sus últimas horas:

“Esos vértigos fueron el anuncio de su muerte, ocurrida el 7 de septiembre. Ese mismo día, conversó en la sobremesa con sobre el nuevo planeta – se refiere a Urano recién descubierto por Herschel – con M. Lexell, que había venido a verle, y más tarde nos habló de otros temas con su agudeza habitual. Acababa de ponerse a jugar con uno de sus nietos cuando sufrió un ataque de apoplejía. Antes de perder el conocimiento solo pudo decir “me muero”; y así terminó la gloriosa vida pocas horas más tarde”.

O como indica el propio Condorcet en su Éloge de M. Euler:

El 7 de septiembre de 1783, [...] mandó llamar a su nieto, con el que se puso a jugar mientras tomaba el té, cuando de repente se la cayó la pipa de la mano, y cesó de calcular y de vivir”

La figura de Euler se hace gigantesca cuando exploramos en cualquier rama de las matemáticas.
La cantidad y la importancia de sus descubrimientos nos hacen dudar a veces que puedan ser obra de una sola persona, no en vano se le ha calificado como “el matemático más prolífico de todos los tiempos”. A lo largo de su vida publicó más de 500 libros y artículos. Añadiendo su obra póstuma, se alcanza la cifra de 886 trabajos.  Se calcula que sus obras completas, superarán probablemente los noventa grandes volúmenes. Si dividimos el número de páginas entre los años vividos (a partir de los 20 años), nos da una producción de unas 800 páginas anuales de promedio. Podemos decir con toda rotundidad que ningún matemático ha superado jamás la producción de este hombre.

Hoy, en cualquier camino matemático que sigamos nos encontraremos tarde o temprano con él, con sus resultados: relación de Euler de los poliedros convexos, teoría de grafos, recta de Euler, constante de Euler, funciones, logaritmos, variable compleja... Y si no aparece alguno de sus resultados compartiremos con él, ignorándolo muchas veces, alguna de sus omnipresentes notaciones: f(x), e, π, i, ...

De hecho Euler está presente, como si de un guiño de la naturaleza se tratase, en la relación más hermosa de las matemáticas; una relación que liga de forma sutil  las cinco constantes numéricas universales más populares, los números 0, 1, π, e, i. Y que es el compendio de todo el Análisis. Una relación, por supuesto descubierta por el genial Leonhard Euler, El Análisis Encarnado como bien dijo Arago: