“Leed a Euler, es el maestro de todos nosotros”

Pierre Simón de Laplace

Hace trescientos años nació  en Basilea el matemático más prolífico de toda la historia.  A lo largo de su dilatada vida científica amplió las fronteras de las matemáticas en todas sus ramas, y no sólo las fronteras de las matemáticas, su actividad creadora se extiende por la casi totalidad de las ciencias. Su influencia impregna todas las materias científicas a lo largo del siglo XVIII. Sin su figura las matemáticas serían otras.

Sin embargo, Euler es aún un genio por descubrir. Este es un pequeño homenaje a su amor por las matemáticas y a su enorme creatividad.

Leonhard Euler nació en Basilea el 15 de abril de 1707, su padre Paulus Euler, pastor calvinista, quería que Leonhard, siguiera sus pasos en los estudios teológicos, así que lo inscribió en la universidad de Basilea para cursar estudios de teología, humanidades clásicas y lenguas orientales, pero la vocación de Euler se enfocaba hacia las matemáticas. Tanto que consiguió recibir unas clases particulares especiales del propio Johann Bernoulli, quien reconoció desde el principio el talento del joven Euler y debió mediar ante su padre para que estudiase una carrera de carácter científico en lugar de teología.

El propio Euler lo cuenta en su autobiografía:
“Pronto tuve la oportunidad de ser presentado al famoso profesor Johann Bernoulli. Estaba realmente muy ocupado, y así rehusó de plano darme lecciones particulares, pero me dio en cambio consejos mucho más valiosos para comenzar a leer por mi propia cuenta libros de matemáticas más difíciles y estudiarlos con toda la diligencia que pudiera. Si me encontraba con algún obstáculo o dificultad tenía permiso para visitarle con plena libertad todos los sábados por la tarde...”

Así Euler acabó estudiando medicina, astronomía y filosofía natural.
Comenzó a publicar con tan solo 19 años; su primera memoria Constructio lincarum isochronarum in medio quocunque resistente impresionó a Johann Bernoulli. Quizás animado por él, Euler, que no había visto un barco de vela en su vida, presentó a la Academia de París, con tan solo veinte años, una memoria sobre la distribución óptima de mástiles y velas en los barcos. En estos escritos ya se vislumbra  la manera  original y creativa, que tenía Euler,  para  resolver  cuestiones y problemas científicos.
En esta ocasión no obtuvo el premio que concedía la Academia, tan sólo una mención honorífica. Pero la Academia acabaría rendida a los méritos de Leonhard concediéndole hasta doce premios a lo largo de su vida. En 1727, recién cumplidos los 20, Euler opta a la cátedra de filosofía natural de la universidad de Basilea, con un trabajo sobre el sonido, Dissertatio physica de sono, pero es rechazado por su juventud.

1727-1740. Primera estancia en la Academia de Ciencias de San  Petersburgo

Tras este fracaso Euler acepta la invitación para trabajar en la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde ya se encontraban los hermanos Nicolás y Daniel Bernoulli, los hijos de Johann, ocupando una plaza en la sección de fisiología y medicina. Esta importante institución había sido fundada en el año 1725 por Catalina. Era una Academia aún joven pero de mucha proyección científica por la categoría de sus miembros.

Justo el día en que Euler llega a San Petersburgo, el 27 de mayo de 1727, muere Catalina la Grande, la protectora de la Academia. Su sucesor, Pedro II, no compartía esta vocación de mecenas de las ciencias y Euler para sobrevivir tuvo que enrolarse en la marina rusa en la que durante tres años ocupo el grado de teniente de navío.

Por suerte para la ciencia Pedro II duró poco en el trono y en 1730 sucediéndole su hija Ana que relanzará la Academia. Gracias a este hecho, en 1730, Euler ocupará la cátedra de filosofía natural y en 1733 sucederá en la cátedra de matemáticas a su amigo Daniel, que había abandonado Rusia para hacerse cargo de la cátedra de matemáticas en la Universidad de Basilea. Ese mismo año Leonhard se casó con Catherine Gsell, hija del pintor sueco G. Gsell, que en ese momento dirigía la Academia de Pintura de San Petersburgo. Este matrimonio tuvo 13 hijos, cinco de los cuales murieron siendo aún niños.

La pluma de Euler durante los 14 años que va a durar su primera estancia en San Petersburgo no va a tener ni un día de descanso. En esos años publicará más de 100 memorias y artículos sobre los temas más diversos, (la gran mayoría de los artículos de los Comentarii de la Academia corresponden a Euler).

Sus resultados durante esta primera estancia en la Academia de Ciencias fueron espectaculares; mostremos aquí algunos de ellos:

• Con el fín de resolver problemas de series, definió en 1729 la función gamma   con s>0 y demostró algunas de sus propiedades Γ(s+1) = s·Γ(s); Γ(n+1) = n! ∀n∈N.
• Un año más tarde, en 1730, introdujo la función beta, para s,t>0, probando la relación entre las funciones gamma y beta, .
• En 1735 la Academia de París, propuso un problema relacionado con la rotación del Sol, Euler se concentró de tal manera en solucionarlo que debido al enorme esfuerzo ocular, pues requería de muchas observaciones, perdió la visión de su ojo derecho.
• El año 1736 publicó la primera de las varias pruebas que dio del Pequeño Teorema de Fermat. Si p > 0 es primo, entonces p divide a a^p – a. De este resultado dará a lo largo de su vida otras dos demostraciones, la última en 1768.
• En 1737 demostró la infinitud de los números primos por un procedimiento muy original y que a la postre dio origen a la Teoría Analítica de Números.
• Ese mismo año también dio una prueba de la irracionalidad del número e, utilizando fracciones continuas, y dos años más tarde, en 1739, demostró la irracionalidad del cuadrado del número e.
• El número e siempre ejerció  en Euler una especial fascinación. Lo calculó por varios procedimientos, hallando del mismo hasta 23 cifras significativas. Su valor es  e =2,718 281 828 459 045 235 360 28…
• El número π es investigado y obtenido, por  Euler en muchos periodos de su vida, utilizando diversos métodos para aproximarle, entre otros el obtenido aplicando el teorema de la adición a la función arctag.
• Resolvió también problemas populares como el famoso de los Siete puentes de Könisberg, recogido en su artículo Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis.
•  A lo largo de estos años se preocupa por solucionar diversos problemas relacionados con la teoría clásica de números, muchos de ellos planteados por. Fermat y otros provenientes de  su relación con su amigo Goldbach. Así descubrió que el quinto primo de Fermat: , no era un número primo, en contra de lo afirmado para todos estos números por el matemático francés. Aunque la descomposición no es nada simple, sobre todo si no se cuenta con las poderosas herramientas de cálculo actuales: F₅ = 4.294.967.297 = 641 · 6700417
• Entre los años 1732 y 1736 estudia productos infinitos y problemas de isoperímetros.
• Poco antes de abandonar San Petersburgo, en 1739, le escribe una nota a Johann Bernouilli en la que le comunica como las ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes se pueden resolver mediante la resolución de su ecuación característica asociada.

De esta época es también su primera obra cumbre: la Mechanica (1736), dos tomos con más de 1000 páginas, la primera obra en que la mecánica parece tratada de forma analítica y con los términos actuales.

En la década entre 1730 y 1740 se enfrenta a su gran pasión: la suma de series numéricas llamativas. Aplicando técnicas, hoy criticables en cuanto al rigor, pero llenas de originalidad y valentía adornadas con una buena dosis de ingenio y habilidad para combinar resultados de ramas en apariencia muy distantes de las matemáticas, como análisis y aritmética, Euler consigue resultados espectaculares como estos:

O de las diferencias alternadas de otras potencias

Pero sin duda la joya de la corona de sus cálculos de series, es la respuesta al gran problema planteado varios años antes por Jakob Bernoulli, el que se dio en llamar el problema de Basilea, que no es otro que calcular la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales:

Euler había conseguido aproximaciones calculando hasta los mil primeros términos:

En 1735, con su genial manera de relacionar técnicas y resultados de campos matemáticos distantes va a encontrar el resultado:

“Sin embargo, he encontrado ahora y contra todo pronóstico una expresión elegante para la suma de la serie , que depende de la cuadratura del círculo ( Es decir, de π). He encontrado que seis veces la suma de esta serie es igual al cuadrado de la longitud de la circunferencia de un círculo de diámetro 1”.

Y en efecto, la suma de la serie es:

Todos estos resultados los incorporará al capítulo X del tomo primero de la Introductio in analysin infinitorum (Edición facsimil y comentada de la SAEM Thales y la RSME. Sevilla 2000).

1741-1766. Estancia en la Academia de Ciencias de Berlín

A finales de 1740, tras la muerte de la zarina Ana, a Euler se le vuelve a plantear la misma situación de incertidumbre sobre su futuro que trece años antes, pero ahora tiene una familia que mantener y sobre todo un prestigio enorme en toda Europa. Por esta razón Euler decidió aceptar una invitación, que años antes le había realizado el rey  Federico II el Grande de Prusia, para incorporarse a la Academia de  Ciencias de Berlín, fundada por Leibniz en 1700.

A raíz la entronización de Federico II, en 1740,  el monarca se  esforzó por impulsar y renovar la Academia, que hasta entonces había tenído una actividad muy reducida, nombrando, en  1741 al científico francés Maupertuis como presidente y contratando a personas de gran prestigio, como es el caso de Euler. 

Cuando Euler llegó a Berlín, el año 1741, encontró al reino  prusiano sumido en la  primera guerra de Silesia y con una actividad científica prácticamente inexistente. Como consecuencia no le fue posible ocupar su cátedra en la Academia, debido a que  en ese momento estaba pasando por la peor crisis económica desde su fundación. Para ganarse la vida  Euler se ocupó en dar clases a miembros de familias nobles, entre las que destaca las impartidas a la princesa Filippina von Schwendt, pariente del rey de Prusia; durante años le dio lecciones y al ser interrumpidas, Euler las completó por escrito, naciendo de esta forma sus famosas Lettres a une princese d’Allemagne (Las cartas a una princesa sobre diversos temas de Física y de Filosofía¹), obra que es considerada como la primera obra divulgativa de física que se haya elaborado. Está compuesta por tres tomos publicados en Rusia, el primero en 1768 y el último en 1772.

En 1744,  Federico II crea la  nueva Academia de Ciencias y Letras de Berlín y a ella fue invitado Euler como responsable de las actividades matemáticas y Maurpetius como presidente. Debido a las continuas ausencias de Maupertuis era Euler el que dirigía la Academia. De hecho, el monarca le encomendó trabajos de una cierta importancia como:  la nivelación del canal Finow, instalaciones de juegos de agua, la dirección de una mina de sal, diversas cuestiones financieras, como la creación de montepíos de viudedad y juegos de lotería, etc.  Para realizar estas acciones Euler disponía de una partida ecónomica importante, pero curiosamente, para investigar cuestiones matemáticas no recibíría ninguna ayuda económica sustancial. La razón estribaba en el hecho de que el monarca Federico  se sentía más a gusto los filósofos, como el caso de Voltaire, que con los geómetras. Para Fedrerico II, Euler era una filósofo anodino, incapaz de dar gracejo y prestancia a los salones cortesanos. Algunos contemporáneos narran que cuando  el monarca se refería a Euler, le llamaba, de manera despectiva "el cíclope matemático" ( en ese momento Euler veía únicamente a través de un sólo ojo). Así las relaciones con el monarca debieron ser muy difíles y en algunos momentos insoportables. 

En Berlín continuará con su gran afición a la astronomía. Buena prueba es la publicación en 1747 de  una memoria titulada Recherches sur le mouvement des corps celestes en general, deduciendo a partir de la segunda ley de la dinámica y de la ley de gravitación universal la primera ley de Kepler y la obtención del premio de la Academia de París en 1748 por un trabajo sobre las perturbaciones del movimiento de Júpiter y Saturno.

Durante el cuarto de siglo que duró su estancia en Berlín, Euler continuó con su producción febril, seguió mandando regularmente artículos para los Comentarii, la revista de la Academia de San Petersburgo de la que continuó siendo editor, envió en total más de 100, casi tantos como los que publicará en las Memorias de la Academia de Berlín – 127 -; investigó sobre todos los temas matemáticos del momento y publicó cientos de memorias y de artículos, pero de este época, de su primera década en Berlín, data uno de los mejores regalos del genio de Basilea a la historia de las matemáticas, su Introductio in analysin infinitorum, (1748), el nacimiento oficial de las funciones, uno de los libros de matemáticas más influyentes de todos los tiempos.

Cuatro años antes, en 1744, había publicado su primera visión del cálculo de variaciones, Methodus inveniendi lineas curvas... , y la Theoria motuum planetarum y cometarum. Dos años más tarde su Teoría sobre la luz y el color. Su ritmo de producción se  mantiene a un nivel inusitado.

Durante la década de los 50 hasta el final de su estancia berlinesa ven la luz al menos otra veintena de obras cumbres en sus respectivos campos. No podemos citar todas aquí pero destacaremos alguna: su segunda mecánica, Theoria motus corporum solidorum (1765)..., Recherches sur la la courvature des surfaces (1760), Institutiones calculi differentialis (1755) y aunque menos extensa, no la de menor repercusión posterior, su obra clásica sobre los logaritmos de números negativos e imaginarios De la controverse entre Mrs. Leibnitz et Bernoulli sur les logaritmes de nombres negatifes e imaginaires (1751), donde deja despejado el camino para justificar la existencia y el cálculo de logaritmos naturales de números imaginarios, utilizando la sorprendente  expresión que, desde entonces lleva su nombre, la identidad de Euler:
Para cualquier x real, e^ix = cos x + i sen x

Según Euler, las propiedades de los logaritmos se mantienen para los números negativos, en contra de la opinión de Leibniz, es decir:
ln(-x) = ln[x·(-1)] = lnx + ln(-1)

La clave estaba en la constante ln(-1). Para Bernoulli esta constante valía cero. Pero Euler tenía la llave desde la Introductio. Haciendo en su identidad  x = π , obtiene e^iπ = cos π + i sen π y, por tanto, ln (-1) = i π

Es decir, ln(-x) = lnx + ln(-1) = lnx + i π

Para sorpresa de todos, los logaritmos de los números negativos no sólo existen sino que además son números imaginarios.

En el caso de los logaritmos de los números imaginarios la solución es más sorprendente, no sólo existe el logaritmo de un complejo a+bi, sino que hay infinitos logaritmos. Si c es el módulo del complejo y π su argumento, Euler afirmó que ln(a+bi) = lnc + i(θ ± 2kπ) para k = 0, 1, 2, ....

Habían nacido para la historia de las matemáticas los logaritmos complejos. Y de paso había dotado de carta de identidad definitiva a los números complejos, explicando cómo operar con ellos, cómo calcular sus raíces, sus potencias, sus logaritmos, sus senos y cosenos.
No deja de ser un nota reveladora del carácter de Euler la carta dirigida a Golbach en la que eufórico le comunica su cálculo de z = iⁱ

Tomando logaritmos:

Así que
¡¡Infinitos valores reales diferentes!!. Para k = 0:

“¡Lo que me parece extraordinario!”, afirmaba Euler en su carta. Y no es para menos.

Durante su estancia en Berlín se dedica, al igual que en San Petersburgo, a resolver problemas relativos a la geometría elemental. Entre los variados resultados obtenidos destacamos la obtención de una demostración sintética de la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo en función de sus lados; la demostración de que en cualquier triángulo, el ortocentro, el baricentro y el circuncentro están siempre alineados, llamándose a esa recta la recta de Euler(1767), la obtención del círculo de Euler, propiedades de paralelogramos… y otros problemas que tienen que ver con la combinatoria y la geometría. Hemos dejado para el final su gran hallazgo, obtenido en 1750 y dice así:

si un poliedro es tal que su superficie puede ser deformada con continuidad hasta transformarse en la superficie de una esfera, entonces se verifica que: C+V=A+2

Siendo   C= Número de caras del poliedro,  V= Número de vértices del poliedro, A= Número de aristas del poliedro.

1766-1783. Segunda estancia en la Academia de Ciencias de San Petersburgo

El carácter discreto, retraído y familiar de Euler no le hacía encajar bien en la corte de Federico II, un monarca engreído y pedante, amante de fastos y boatos, justo lo contrario de Euler. Así que en el verano de 1766 decide volver a San Petersburgo con cuya Academia había estado profundamente vinculado durante toda su estancia berlinesa.

El trato que le dispensó Catalina II de Rusia fue todo lo contrario. Dispuso para él y su familia, 18 miembros en total, una enorme mansión y puso a su disposición a su mejor cocinero. Esto debió consolarle del golpe que debió suponer la pérdida de todos sus objetos personales y numerosos escritos sin publicar que se perdieron en el naufragio del barco que los transportaba desde Alemania. Para colmo una catarata en el ojo izquierdo comenzó a hacerle perder progresivamente la visión de su ojo sano. Su casa, junto a otras 500, fue víctima de un incendio que casi siega su vida y en el que volvió a perder una buena parte de sus manuscritos, entre ellos su memoria sobre la Luna. En 1776, viejo y casi ciego  pierde a su esposa, aunque al año siguiente se casa con su cuñada. A pesar de todos estos percances vitales Euler continuó con su producción febril. En esta etapa publicó más de 350 trabajos, muchos de ellos sobre su gran afición: la teoría de números en la que nos ha dejado magníficos resultados sobre números perfectos (el teorema de Euclides-Euler), sobre números amigos (sus famosas 62 parejas que al final fueron sólo 60), sobre números primos...

En 1768 apareció su Aritmética Universal. En ella se analizan un sin fin de resultados elementales de forma muy didáctica: se generalizan las reglas de resolución de problemas aritméticos; se desarrolla el aparato simbólico-literal del álgebra; se aclaran las operaciones con números, monomios, radicales y complejos; se introducen los logaritmos; se dan las reglas de extracción de las raíces de números y de expresiones algebraicas polinomiales; se introducen las series como medio de expresión de las funciones racionales fraccionarias; se introducen los números poligonales, las proporciones y progresiones, las fracciones decimales periódicas y se estudian los métodos de resolución de ecuaciones algebraicas.
Entre 1768 y 1770 verán la luz los tres tomos de las Instituciones calculi integralis, donde presenta su visión analítica del cálculo de variaciones,  entre 1769 y 1771 los tres tomos de la Dioptrica, que convertiría a Euler en el precursor de los fenómenos de interferencia y difracción de la luz, aspectos que fueron definitivamente  resueltos por el científico A. Fresnel(1788-1827),  y en 1774 su segunda Scientia navalis menos teórica y mucho más práctica que la publicada en 1749.

Ya totalmente ciego publica en 1770 su Introducción al Álgebra dictándole sus cálculos a su ayudante Peter Grimm, que no tenía una formación matemática especial. Las correcciones las realizaba su hijo Johann Albercht. La obra consta de dos volúmenes, el primero de los tomos trata de sentar las bases del álgebra, mientras que el segundo está destinado al análisis diofántico. Su estilo didáctico ha constituido un modelo desde entonces. Tras la edición de este libro, Euler descubre la necesidad de contar con un secretario con una formación matemática sólida y pide a Daniel Bernoulli que le envíe uno de sus alumnos más aventajados, Así es como Nicolás Fuss, un estudiante de la universidad de Basilea tendrá la fortuna de compartir día a día los últimos diez años de creación matemática del genio.

A lo largo de toda su vida y en todas sus obras, Euler se manifiesta con un estilo claro, llano y sencillo, alejado de la pedantería que rodea muchas publicaciones científicas; porque Euler fue  también un maestro y un divulgador fabuloso. Condorcet lo expresa de manera precisa:

“Cuando publicaba una memoria sobre un asunto nuevo, exponía con sencillez el camino que había recorrido, haciendo observar sus dificultades y vericuetos, y tras hacer seguir al lector la marcha de su espíritu durante los primeros ensayos, les enseñaba cómo había conseguido encontrar el camino más fácil, lo que demuestra que prefería la instrucción de sus discípulos a la satisfacción que pudiera producirle su asombro, y creía no hacer bastante por la ciencia si no agregaba a las verdades nuevas con que la enriquecía, la sincera exposición de las ideas que le habían conducido a su descubrimiento”

Gracias a Nicolás Fuss conocemos sus últimas horas:

“Esos vértigos fueron el anuncio de su muerte, ocurrida el 7 de septiembre. Ese mismo día, conversó en la sobremesa con sobre el nuevo planeta – se refiere a Urano recién descubierto por Herschel – con M. Lexell, que había venido a verle, y más tarde nos habló de otros temas con su agudeza habitual. Acababa de ponerse a jugar con uno de sus nietos cuando sufrió un ataque de apoplejía. Antes de perder el conocimiento solo pudo decir “me muero”; y así terminó la gloriosa vida pocas horas más tarde”.

O como indica el propio Condorcet en su Éloge de M. Euler:

El 7 de septiembre de 1783, [...] mandó llamar a su nieto, con el que se puso a jugar mientras tomaba el té, cuando de repente se la cayó la pipa de la mano, y cesó de calcular y de vivir”

La figura de Euler se hace gigantesca cuando exploramos en cualquier rama de las matemáticas.
La cantidad y la importancia de sus descubrimientos nos hacen dudar a veces que puedan ser obra de una sola persona, no en vano se le ha calificado como “el matemático más prolífico de todos los tiempos”. A lo largo de su vida publicó más de 500 libros y artículos. Añadiendo su obra póstuma, se alcanza la cifra de 886 trabajos.  Se calcula que sus obras completas, superarán probablemente los noventa grandes volúmenes. Si dividimos el número de páginas entre los años vividos (a partir de los 20 años), nos da una producción de unas 800 páginas anuales de promedio. Podemos decir con toda rotundidad que ningún matemático ha superado jamás la producción de este hombre.

Hoy, en cualquier camino matemático que sigamos nos encontraremos tarde o temprano con él, con sus resultados: relación de Euler de los poliedros convexos, teoría de grafos, recta de Euler, constante de Euler, funciones, logaritmos, variable compleja... Y si no aparece alguno de sus resultados compartiremos con él, ignorándolo muchas veces, alguna de sus omnipresentes notaciones: f(x), e, π, i, ...

De hecho Euler está presente, como si de un guiño de la naturaleza se tratase, en la relación más hermosa de las matemáticas; una relación que liga de forma sutil  las cinco constantes numéricas universales más populares, los números 0, 1, π, e, i. Y que es el compendio de todo el Análisis. Una relación, por supuesto descubierta por el genial Leonhard Euler, El Análisis Encarnado como bien dijo Arago:

Bibliografía

Castro Chacid, I.. Leonhard Euler. Grupo Editorial Iberoaméricano. México D.F. 1996

Condorcet. Marqués de. Eulogy to Mr. Euler
http://www.math.dartmouth.edu/~euler/historica/condorcet.html

Dunham, William. Euler el maestro de todos los matemáticos. Ed. NIVOLA. Madrid 2000

Dunham, William. Viaje a través de los genios. Ed Pirámide. Madrid 1993

Durán A. J. Historia, con personajes, de los conceptos del cálculo. Alianza Univ. Madrid 1996.

EULER,L: Introducción al Análisis de los infinitos. Edición crítica con facsímil de A.Durán de la obra de Euler Introductio in Analysin Infinitorum.. RSME, SAEM Thales, Sevilla, 2003.

Fuss, Nicolas. Eulogy of Leonhard Euler 
http://www.math.dartmouth.edu/~euler/historica/fuss.html

Sánchez, C. y Valdés C. De los Bernoulli a los Bourbaki. Ed. NIVOLA Madrid 2004

Pérez Sanz, A. Euler. Una superestrella. Documental serie Universo Matemático. RTVE. 2001

Las obras de Euler on-line: http://www.math.dartmouth.edu/~euler/

Nota:
¹ "Reflexiones sobre el espacio, la fuerza y la materia". Leonhard Euler. Alianza Editorial. Madrid  1985.